Em cada item, determine a derivada da função dada.
f(x)=(x^2-5 x+2)(x-2x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = (x^2 - 5x + 2)l(x - tfrac2xr). O conteúdo principal aqui é derivada de um produto de funções, então vamos usar a regra do produto, além das derivadas de polinômios e de x^-1.

Passo 2

Definimos u(x) = x^2 - 5x + 2 e v(x) = x - tfrac2x. Sabendo que a derivada de um polinômio é soma das derivadas de cada termo e que ddx[x^-1] = -x^-2, temos:
u'(x) = 2x - 5
v'(x) = 1 + 2x^2

Passo 3

Aplicando a regra do produto
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
encontramos as duas parcelas:
u'(x),v(x) = (2x - 5)l(x - 2xr)
u(x),v'(x) = (x^2 - 5x + 2)l(1 + 2x^2r)

Passo 4

Vamos expandir cada parte e somar:
(2x - 5)l(x - 2xr) = 2x^2 - 5x - 4 + 10x
(x^2 - 5x + 2)l(1 + 2x^2r) = x^2 - 5x + 4 - 10x + 4x^2
Ao somar, os termos +tfrac10x e -tfrac10x se cancelam. Para os polinômios, 2x^2 + x^2 = 3x^2 e -5x - 5x = -10x. E ainda sobra o termo tfrac4x^2.

Resposta

f’(x) = 3x^2 - 10x + \frac{4}{x^2}

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