Encontre \frac{d y}{d x} por derivação implícita:
e^{x}+e^{y}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^{x} + e^{y} = e^{x+y}
e pede \dfrac{d y}{d x}. O conteúdo é derivação implícita de funções exponenciais, onde vamos usar as regras \tfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,\tfrac{du}{dx}.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
- Lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) =\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}e^{y} =e^{x}+e^{y}\,\frac{dy}{dx}.
- Lado direito:
\frac{d}{dx}e^{x+y} =e^{x+y}\,\frac{d}{dx}(x+y) =e^{x+y}(1+\frac{dy}{dx}).

Passo 3

Igualando as derivadas:
e^{x} + e^{y}\,\frac{dy}{dx} = e^{x+y}\bigl(1+\frac{dy}{dx}\bigr) = e^{x+y} + e^{x+y}\,\frac{dy}{dx}.
Passamos todos os termos com \frac{dy}{dx} para um lado:
e^{y}\,\frac{dy}{dx} - e^{x+y}\,\frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^{x}.
Fatorando \frac{dy}{dx}:
\bigl(e^{y} - e^{x+y}\bigr)\frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^{x}.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x+y} - e^{x}}{e^{y} - e^{x+y}}.
Opcionalmente, pode-se fatorar e^{x} no numerador e e^{y} no denominador para ver outras formas equivalentes.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x+y} - e^{x}}{e^{y} - e^{x+y}}.

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