Para cada item a seguir, ache \left(f^{-1}\right)^{\prime}(d) :
f(x)=2 \operatorname{cotg} x, 0<x<\pi e d=2

Passo 1

O enunciado pede \bigl(f^{-1}\bigr)'(d) para a função
f(x)=2\cot x,\quad 0<x<\pi,
no ponto d=2.
Vamos usar a fórmula da derivada da inversa: se y=f(x) e f é diferenciável em x_0 com f'(x_0)\neq0, então
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)\bigl|_{y=d} =\frac{1}{f'(x_0)}, \quad\text{onde }x_0=f^{-1}(d).

Passo 2

Precisamos achar x_0 tal que
f(x_0)=2\quad\Longrightarrow\quad 2\cot x_0=2 \quad\Longrightarrow\quad \cot x_0=1.
No intervalo (0,\pi), isso ocorre em
x_0=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Calculemos a derivada de f. Como \frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x, vem
f'(x) =2\frac{d}{dx}(\cot x) =-2\,\csc^2 x.

Passo 4

Avalia-mos f' em x_0=\tfrac{\pi}{4}:
f'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-2\,\csc^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-2\cdot\frac{1}{\sin^2(\pi/4)} =-2\cdot\frac{1}{(\sqrt2/2)^2} =-2\cdot2 =-4.

Passo 5

Finalmente, pela fórmula da inversa,
\bigl(f^{-1}\bigr)'(2) =\frac{1}{f'(\pi/4)} =\frac{1}{-4} =-\frac{1}{4}.

Resposta

\bigl(f^{-1}\bigr)'(2)=-\frac{1}{4}.

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