Encontre \frac{d y}{d x} onde:
y=\operatorname{arccotg}\left(\frac{1}{x}\right)-\operatorname{arctg}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \arccot\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\;-\;\arctan(x).
O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas inversas e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular \dfrac{d}{dx}\arccot\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), note que, se u(x)=1/x, então pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\arccot\!\bigl(u(x)\bigr) =\frac{d}{du}\arccot(u)\;\cdot\;\frac{du}{dx}.
Sabemos que
\frac{d}{du}\arccot(u) = -\frac{1}{1+u^2}, \quad \frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}.
Logo,
\frac{d}{dx}\arccot\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = -\frac{1}{1+(1/x)^2}\;\cdot\;\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr) = \frac{\tfrac{1}{x^2}}{1+\tfrac{1}{x^2}} = \frac{1}{x^2+1}.

Passo 3

A derivada de \arctan(x) é clássica:
\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}.

Passo 4

Subtraindo as duas derivadas, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{1+x^2} = 0,
válido para x\neq0, que é o domínio de \arccot\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} = 0.

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