Determine \frac{d y}{d x} onde:
y=x^{t g(x)}, x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^{\operatorname{tg}(x)},\quad x>0.
Como a base e o expoente dependem de x, vamos usar derivação logarítmica, aplicando a regra do produto e as derivadas de \ln(x) e de \operatorname{tg}(x).

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(y) = \ln\bigl(x^{\operatorname{tg}(x)}\bigr) = \operatorname{tg}(x)\,\ln(x).

Passo 3

Derivando em relação a x e usando \tfrac{d}{dx}[\ln(y)] = \tfrac{1}{y}\,\tfrac{dy}{dx}, obtemos:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{tg}(x)\bigr]\cdot\ln(x) + \operatorname{tg}(x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr].

Passo 4

Como
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{tg}(x)\bigr] = \operatorname{sec}^2(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr] = \frac{1}{x},
substituímos na expressão:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^2(x)\,\ln(x) \;+\; \frac{\operatorname{tg}(x)}{x}.

Passo 5

Multiplicando por y e voltando a y = x^{\operatorname{tg}(x)}, fica:
\frac{dy}{dx} = x^{\operatorname{tg}(x)}\Bigl[\operatorname{sec}^2(x)\,\ln(x) + \frac{\operatorname{tg}(x)}{x}\Bigr].

Resposta

\frac{dy}{dx} = x^{\operatorname{tg}(x)}\Bigl[\operatorname{sec}^2(x)\,\ln(x) + \frac{\operatorname{tg}(x)}{x}\Bigr].

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