Determine \frac{d y}{d x} onde:
y=3^{\operatorname{cossec}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=3^{\csc(x)}. O conteúdo envolvido é
– derivada de função exponencial de base constante, que usa a fórmula
\frac{d}{dx}a^{u} = a^{u}\,\ln(a)\,u'
– derivada da função \csc(x), que satisfaz
\frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\,\cot(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\csc(x),
de modo que
y = 3^{u(x)}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à exponencial, obtemos
\frac{dy}{dx} = 3^{u(x)}\,\ln(3)\,u'(x).

Passo 4

Agora derivamos a parte interna. Como
\frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\,\cot(x),
temos
u'(x) = -\csc(x)\,\cot(x).

Passo 5

Substituindo u'(x) em \tfrac{dy}{dx}, fica
\frac{dy}{dx} = 3^{\csc(x)}\,\ln(3)\,\bigl(-\csc(x)\,\cot(x)\bigr)
e, simplificando,
\frac{dy}{dx} = -3^{\csc(x)}\,\ln(3)\,\csc(x)\,\cot(x).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -3^{\csc(x)}\,\ln(3)\,\csc(x)\,\cot(x).

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