Encontre \frac{d y}{d x} :
\operatorname{cotgh}^{-1}\left(\frac{x^{2}}{3 y}\right)+x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
\operatorname{cotgh}^{-1}\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{3y}\bigr)\;+\;x\,y^{2}\;=\;0
e pede \dfrac{dy}{dx}. Para isso vamos aplicar diferenciação implícita em ambos os termos, usando a regra da cadeia. Lembrando que
\frac{d}{du}\,\operatorname{cotgh}^{-1}(u) =\frac{1}{1-u^{2}}\,.

Passo 2

Defina
u=\frac{x^{2}}{3y}.
Então
\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{cotgh}^{-1}(u)\Bigr] =\frac{1}{1-u^{2}}\;\frac{du}{dx}.
E a derivada de x\,y^{2} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl[x\,y^{2}\bigr] =y^{2}+2x\,y\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Calculemos \dfrac{du}{dx} com u=x^{2}/(3y) por quociente:
\frac{du}{dx} =\frac{(3y)\,2x - x^{2}\,3\,(dy/dx)}{(3y)^{2}} =\frac{6xy -3x^{2}\,\dfrac{dy}{dx}}{9y^{2}} =\frac{2xy -x^{2}\,\dfrac{dy}{dx}}{3y^{2}}.

Passo 4

Agora montamos a derivada implícita de toda a expressão:
\frac{1}{1-u^{2}}\;\frac{du}{dx} \;+\;y^{2}+2x\,y\,\frac{dy}{dx} \;=\;0.
Substituindo u=x^{2}/(3y) e \dfrac{du}{dx}:
\frac{1}{1-\bigl(\tfrac{x^{2}}{3y}\bigr)^{2}} \;\frac{2xy -x^{2}y'}{3y^{2}} \;+\;y^{2}+2xy\,y' \;=\;0,
onde escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Simplifique o denominador da primeira fração:
1-\frac{x^{4}}{9y^{2}} =\frac{9y^{2}-x^{4}}{9y^{2}},
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\frac{1}{1-u^{2}}\;\frac{du}{dx} =\frac{2xy -x^{2}y'}{3y^{2}} \;\frac{9y^{2}}{\,9y^{2}-x^{4}\,} =\frac{3\,(2xy -x^{2}y')}{9y^{2}-x^{4}}.
A equação fica
\frac{3\,(2xy -x^{2}y')}{9y^{2}-x^{4}} \;+\;y^{2}+2xy\,y' \;=\;0.
Multiplicando em “cruz” por 9y^{2}-x^{4}:
3\,(2xy -x^{2}y')+\bigl(y^{2}+2xy\,y'\bigr)\,(9y^{2}-x^{4})=0.
Expandindo e agrupando termos em y':
6xy-3x^{2}y' +9y^{4}-x^{4}y^{2} +18xy^{3}y' -2x^{5}y' =0
\Longrightarrow y'\bigl(-3x^{2}+18xy^{3}-2x^{5}\bigr) +\bigl(6xy+9y^{4}-x^{4}y^{2}\bigr) =0.

Passo 6

Isole y':
y'\bigl(-3x^{2}+18xy^{3}-2x^{5}\bigr) =-\bigl(6xy+9y^{4}-x^{4}y^{2}\bigr)
\Longrightarrow y' =\frac{-\bigl(6xy+9y^{4}-x^{4}y^{2}\bigr)} {-3x^{2}+18xy^{3}-2x^{5}} =\frac{6\,x\,y+9\,y^{4}-x^{4}y^{2}}{3x^{2}-18x y^{3}+2x^{5}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{6\,x\,y+9\,y^{4}-x^{4}y^{2}}{3x^{2}-18x\,y^{3}+2x^{5}}.

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