Questão 1. [ 4,0 pontos] Utilize a definição de área (sob gráfico de função) dada em sala de aula para calcular a área sob a curva y=x^{3} de 0 a 1 . Utilizando a mesma definição, calcule a área de um círculo de raio r

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a definição de área como limite de soma de retângulos (soma de Riemann) em dois casos: a área sob a curva y=x^3 de 0 a 1 e a área de um círculo de raio r, que vamos obter usando a área do semicírculo definido por y=\sqrt{r^2-x^2}.

Passo 2

Para a área sob y=x^3 em [0,1], particionamos o intervalo em n subintervalos de largura
\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}.
No ponto direito de cada subintervalo, x_i = \tfrac{i}{n}, a altura vale f(x_i) = \bigl(\tfrac{i}{n}\bigr)^3. Então a soma de Riemann é
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(\frac{i}{n}\Bigr)^3\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n^4}\sum_{i=1}^{n}i^3.

Passo 3

Sabemos que
\sum_{i=1}^{n}i^3 = \Bigl(\frac{n(n+1)}{2}\Bigr)^2.
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\frac{1}{n^4}\sum_{i=1}^{n}i^3 = \frac{1}{n^4}\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4\,n^2} \longrightarrow \frac{1}{4} \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto, a área sob y=x^3 de 0 a 1 é \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Para o círculo de raio r, consideramos o semicírculo superior dado por
y = \sqrt{r^2 - x^2},\quad x\in[-r,r].
A área do semicírculo é
\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2}\,dx,
definida também como limite de soma de Riemann. Vamos calcular essa integral por substituição trigonométrica.

Passo 5

Fazendo x = r\sin\theta, temos dx = r\cos\theta\,d\theta e \sqrt{r^2 - x^2} = r\cos\theta. Quando x=-r vem \theta=-\tfrac{\pi}{2} e quando x=r vem \theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim
\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2}\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r\cos\theta\;\bigl(r\cos\theta\bigr)\,d\theta = r^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta.
Usando \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2},
r^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta = r^2\Bigl[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\Bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = r^2\cdot\frac{\pi}{2}.
Então a área do semicírculo é \tfrac{\pi r^2}{2}.

Passo 6

O círculo inteiro equivale a dois semicírculos, logo sua área é
2\;\times\;\frac{\pi r^2}{2} = \pi r^2.

Resposta

A área sob y=x^3 de 0 a 1 é \tfrac{1}{4}.
A área do círculo de raio r é \pi r^2.

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