Questão 1. [ 4,0 pontos] Utilize a definição de área (sob gráfico de função) dada em sala de aula para calcular a área sob a curva
de 0 a 1 . Utilizando a mesma definição, calcule a área de um círculo de raio
Passo 1
O enunciado pede para usarmos a definição de área como limite de soma de retângulos (soma de Riemann) em dois casos: a área sob a curva
de 0 a 1 e a área de um círculo de raio
, que vamos obter usando a área do semicírculo definido por
.
Passo 2
Para a área sob
em
, particionamos o intervalo em
subintervalos de largura
No ponto direito de cada subintervalo,
, a altura vale
. Então a soma de Riemann é
Passo 3
Sabemos que
Logo
Portanto, a área sob
de 0 a 1 é
.
Passo 4
Para o círculo de raio
, consideramos o semicírculo superior dado por
A área do semicírculo é
definida também como limite de soma de Riemann. Vamos calcular essa integral por substituição trigonométrica.
Passo 5
Fazendo
, temos
e
. Quando
vem
e quando
vem
. Assim
Usando
,
Então a área do semicírculo é
.
Passo 6
O círculo inteiro equivale a dois semicírculos, logo sua área é
Resposta
A área sob
de 0 a 1 é
.
A área do círculo de raio é
.
A área do círculo de raio