Encontre
nas seguintes equações usando a derivação implícita:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A relação entre
e é dada implicitamente por . - Assume-se que
depende de (ou seja, ), então queremos a derivada de em relação a .
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma didática):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja,
. - Derivada de função potência simples:
. - Regra da cadeia (essencial aqui): se
é função de , então ao derivar uma expressão em devemos multiplicar pela derivada de em relação a . Por exemplo, se , então
Explicando com calma: primeiro derivamos a potência como se fosse em relação a
(o que dá
), e depois multiplicamos por
porque
varia com
.
Passo 3
Aplicando a derivação termo a termo à igualdade
:
Agora calculamos cada derivada usando as regras do passo anterior:
-
. -
(pelo uso da regra da cadeia). -
(constante).
Portanto obtemos a equação
Passo 4
Isolando
na equação
:
- Subtrai
dos dois lados:
- Divide ambos os lados por
(atenção: isso exige ; trataremos o caso em seguida):
Passo 5
Interpretação e caso especial:
- A fórmula
vale para pontos do círculo onde . - Nos pontos onde
(que na curva são e ), a expressão fica indefinida: isso corresponde geometricamente a tangentes verticais nesses pontos (declive infinito). - Exemplos rápidos para treinar: em
temos (tangente horizontal); em temos .