Encontre \frac{d y}{d x} nas seguintes equações usando a derivação implícita:
x^{2}+y^{2}=4;

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x^{2}+y^{2}=4\; e pede para encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que temos:
  • A relação entre x e y é dada implicitamente por \;x^{2}+y^{2}=4\;.
  • Assume-se que y depende de x (ou seja, y=y(x)), então queremos a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}(u+v)=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}.
  • Derivada de função potência simples: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Regra da cadeia (essencial aqui): se y é função de x, então ao derivar uma expressão em y devemos multiplicar pela derivada de y em relação a x. Por exemplo, se h(x)=(y(x))^{2}, então
\frac{dh}{dx}=2y(x)\cdot\frac{dy}{dx}.
Explicando com calma: primeiro derivamos a potência como se fosse em relação a y (o que dá 2y), e depois multiplicamos por \dfrac{dy}{dx} porque y varia com x.

Passo 3

Aplicando a derivação termo a termo à igualdade \;x^{2}+y^{2}=4\;:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}(4).
Agora calculamos cada derivada usando as regras do passo anterior:
  • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot\dfrac{dy}{dx} (pelo uso da regra da cadeia).
  • \dfrac{d}{dx}(4)=0 (constante).
Portanto obtemos a equação
2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx} na equação 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0:
  • Subtrai 2x dos dois lados:
2y\frac{dy}{dx} = -2x.
  • Divide ambos os lados por 2y (atenção: isso exige y\neq 0; trataremos o caso y=0 em seguida):
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.

Passo 5

Interpretação e caso especial:
  • A fórmula \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} vale para pontos do círculo onde y\neq 0.
  • Nos pontos onde y=0 (que na curva \;x^{2}+y^{2}=4\; são (2,0) e (-2,0)), a expressão -\dfrac{x}{y} fica indefinida: isso corresponde geometricamente a tangentes verticais nesses pontos (declive infinito).
  • Exemplos rápidos para treinar: em (0,2) temos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{0}{2}=0 (tangente horizontal); em (1,\sqrt{3}) temos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

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