(1 ponto) Diga se a seguinte equação é separável, e caso seja resolva pelo método de equações sepráveis
a y^{2}+b-x^{2} y y^{\prime}=0 \text { para } a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
a y^{2}+b-x^{2} y y^{\prime}=0,\qquad a,b\in\mathbb{R},\\ a\neq0,
onde y'= \dfrac{dy}{dx}. As perguntas são:
A equação é separável?
Se for separável, resolvê-la pelo método de equações separáveis (achar a solução geral).
Informações relevantes fornecidas:
a e b são números reais e a\neq0.
A incógnita é a função y(x).
A derivada aparece como y' multiplicada por x^{2}y.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a equação para ver se dá para escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro (condição de separabilidade).
Começo isolando y'. A equação dada é
a y^{2}+b-x^{2} y y^{\prime}=0.
Reescrevendo,
x^{2} y y^{\prime}=a y^{2}+b.
Agora divido por x^{2}y (esta divisão exige x\neq0 e y\neq0 localmente; mais adiante cuidamos dos casos degenerados):
y^{\prime}=\frac{a y^{2}+b}{x^{2} y}.
Isso é a forma padrão \dfrac{dy}{dx}= \text{função de }x\text{ e }y. Vamos ver se é possível separar variáveis: queremos algo como G(y)\,dy = F(x)\,dx.
Multiplico ambos os lados por \dfrac{y}{a y^{2}+b} e por dx para obter
\frac{y}{a y^{2}+b}\,dy=\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Aqui conseguimos colocar apenas expressões em y do lado esquerdo e apenas expressões em x do lado direito: portanto a equação é separável (com a ressalva de pontos onde x=0 ou a y^{2}+b=0 ou y=0, que tratamos separadamente depois).
Igualando as primitivadas (absorvendo constantes numa única constante de integração C) obtemos
\frac{1}{2a}\ln\bigl|a y^{2}+b\bigr| = -\frac{1}{x} + C.
Multiplicando por 2a para simplificar,
\ln\bigl|a y^{2}+b\bigr| = -\frac{2a}{x} + C',
onde C'=2aC é outra constante real arbitrária.
Passo 5
Agora exponencio para isolar a y^{2}+b:
\bigl|a y^{2}+b\bigr| = e^{C'} e^{-2a/x}.
Defino K=e^{C'}, onde K>0. Para incorporar sinais possíveis da expressão absoluta podemos escrever com uma constante arbitrária real C (permitindo C positivo, negativo ou zero):
a y^{2}+b = C e^{-2a/x},\qquad C\in\mathbb{R}.
Essa é a forma implícita geral da solução (a constante C absorveu o sinal e o fator e^{C'}).
Passo 6
Agora escrevo a solução explicitando y. Como a\neq0,
y^{2}=\frac{C e^{-2a/x}-b}{a}.
Tomando raiz quadrada (duas possiblidades de sinal),
com a restrição de que o conteúdo dentro da raiz seja não negativo no domínio considerado.
Observações sobre soluções especiais e domínios:
Soluções constantes: se y é constante então y'=0 e a equação original dá a y^{2}+b=0. Assim, se -\dfrac{b}{a}\ge 0 existem soluções constantes
y=\pm\sqrt{-\frac{b}{a}},
as quais correspondem aos casos em que a expressão a y^{2}+b se anula (esses são pontos singulares na integração porque usamos \ln|a y^{2}+b|). Essas soluções constantes são incluídas como casos limite apropriados da família geral (quando a constante C é tal que C e^{-2a/x}=b para todo x, o que só é possível na forma limite apropriada) e devem ser consideradas separadamente.
Pontos onde x=0 exigem cuidado porque dividimos por x^{2} ao separar; a solução geral acima é válida em intervalos que não passam por x=0.
Passo 7
Resumo prático para a prova (passos que você deveria escrever rápido e seguro):
Isolar y' e mostrar que dá \dfrac{y}{a y^{2}+b}\,dy=\dfrac{1}{x^{2}}\,dx — conclui separabilidade.
Integrar esquerdo com substituição u=a y^{2}+b e direito diretamente.
Obter \ln|a y^{2}+b|=-\dfrac{2a}{x}+C'.
Exponenciar e isolar y para chegar em y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{C e^{-2a/x}-b}{a}}, lembrando das soluções constantes y=\pm\sqrt{-b/a} quando existirem.