A função é composta: há uma função externa \operatorname{arcsen}(\,\cdot\,) aplicada a uma função interna u(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
A expressão contém raízes e quadrados, então o domínio natural é -1\le x\le 1; as derivadas precisam tratar valores onde aparecem \sqrt{\cdot} e \sqrt{x^{2}}=|x|.
A pergunta é explicitamente sobre a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
Regra da cadeia: se y=F(G(x)) então
\dfrac{dy}{dx}=F'(G(x))\cdot G'(x).
Isto significa: derivar a função externa em relação à sua variável e multiplicar pela derivada da função interna.
Observação importante: em x=0\] a expressão original dá \(\sqrt{1-0}=1 e \operatorname{arcsen}(1)=\dfrac{\pi}{2}, mas a expressão para y' envolve |x| no denominador e não está definida em x=0. Portanto a derivada primeira não existe em x=0.]
Passo 5
Agora calculo a segunda derivada diferenciando a expressão por partes (para x\neq 0). Para x>0 temos
Reunindo as duas expressões e procurando uma forma única e bonita: para x>0 temos y''=-x(1-x^{2})^{-3/2} e para x<0 temos y''=x(1-x^{2})^{-3/2}. Isso é equivalente a
Essa forma funciona porque para x>0 temos -|x|=-x e para x<0 temos -|x|=x, coincidindo com os cálculos anteriores.
Observação final sobre x=0: a primeira derivada não existe em x=0, portanto a segunda derivada também não existe em x=0 como derivada da função original. Apesar disso, o limite de y'' quando x\to0 é 0, mas isso não atribui existência da derivada nesse ponto.