Encontre \frac{d^{2} y}{d x^{2}} :
y=\operatorname{arcsen}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{arcsen}\!\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)
e pede para encontrar \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta: há uma função externa \operatorname{arcsen}(\,\cdot\,) aplicada a uma função interna u(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
  • A expressão contém raízes e quadrados, então o domínio natural é -1\le x\le 1; as derivadas precisam tratar valores onde aparecem \sqrt{\cdot} e \sqrt{x^{2}}=|x|.
  • A pergunta é explicitamente sobre a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
  • Regra da cadeia: se y=F(G(x)) então
\dfrac{dy}{dx}=F'(G(x))\cdot G'(x).
Isto significa: derivar a função externa em relação à sua variável e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada do arco-seno: para uma variável t,
\dfrac{d}{dt}\big(\operatorname{arcsen}(t)\big)=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Aqui é importante: a raiz no denominador aparece porque geometricamente \sin e \arcsin estão relacionados por \cos^{2}+\sin^{2}=1.
  • Derivada de \sqrt{v} onde v=v(x): escrevendo \sqrt{v}=v^{1/2},
\dfrac{d}{dx}\big(v^{1/2}\big)=\dfrac{1}{2}v^{-1/2}\cdot v'(x)=\dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v}}.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para obter a primeira derivada. Defino a função interna
u(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
Usando a fórmula da derivada do arco-seno,
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}\cdot u'(x).
Agora calculo u'(x). Como u(x)=(1-x^{2})^{1/2},
u'(x)=\dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-x(1-x^{2})^{-1/2}.
Substituo na expressão de y':
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x(1-x^{2})^{-1/2}}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 4

Simplificar o denominador \sqrt{1-u^{2}}\). Como \(u(x)=\sqrt{1-x^{2}}\), temos \[u(x)^{2}=1-x^{2}.
Logo
1-u(x)^{2}=1-(1-x^{2})=x^{2},
e portanto
\sqrt{1-u(x)^{2}}=\sqrt{x^{2}}=|x|.
Substituindo isso em y',
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x(1-x^{2})^{-1/2}}{|x|}=-\dfrac{x}{|x|\sqrt{1-x^{2}}}.
Isto pode ser escrito de forma mais clara como função por partes:
\dfrac{dy}{dx}= \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, & x>0,\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, & x<0. \end{cases}
Observação importante: em x=0\] a expressão original dá \(\sqrt{1-0}=1 e \operatorname{arcsen}(1)=\dfrac{\pi}{2}, mas a expressão para y' envolve |x| no denominador e não está definida em x=0. Portanto a derivada primeira não existe em x=0.]

Passo 5

Agora calculo a segunda derivada diferenciando a expressão por partes (para x\neq 0). Para x>0 temos
\dfrac{dy}{dx}=-\big(1-x^{2}\big)^{-1/2}.
Derivando:
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\left[-\tfrac{1}{2}\big(1-x^{2}\big)^{-3/2}\cdot(-2x)\right].
Vou desenvolver devagar: a derivada de \big(1-x^{2}\big)^{-1/2} é
-\tfrac{1}{2}\big(1-x^{2}\big)^{-3/2}\cdot(-2x)=x\big(1-x^{2}\big)^{-3/2}.
Multiplicando o sinal externo negativo,
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-x\big(1-x^{2}\big)^{-3/2}\quad\text{para }x>0.

Passo 6

Para x<0 tínhamos
\dfrac{dy}{dx}=+\big(1-x^{2}\big)^{-1/2}.
Derivando:
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}= \left[-\tfrac{1}{2}\big(1-x^{2}\big)^{-3/2}\cdot(-2x)\right]=x\big(1-x^{2}\big)^{-3/2}\quad\text{para }x<0.

Passo 7

Reunindo as duas expressões e procurando uma forma única e bonita: para x>0 temos y''=-x(1-x^{2})^{-3/2} e para x<0 temos y''=x(1-x^{2})^{-3/2}. Isso é equivalente a
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{|x|}{\big(1-x^{2}\big)^{3/2}}\quad\text{para }-1<x<1,\\ x\neq 0.
Essa forma funciona porque para x>0 temos -|x|=-x e para x<0 temos -|x|=x, coincidindo com os cálculos anteriores.
Observação final sobre x=0: a primeira derivada não existe em x=0, portanto a segunda derivada também não existe em x=0 como derivada da função original. Apesar disso, o limite de y'' quando x\to0 é 0, mas isso não atribui existência da derivada nesse ponto.

Resposta

\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{|x|}{\big(1-x^{2}\big)^{3/2}},\qquad -1<x<1,\\ x\neq 0.

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