Encontre
:
.
Passo 1
O enunciado pede claramente para encontrar a segunda derivada de
em relação a
onde a função é
Informações dadas e objetivo:
- A função é
. - Precisa-se calcular
(a segunda derivada). - Não há outras informações numéricas; trabalhar simbolicamente.
Passo 2
Primeiro passo prático: identificar uma substituição útil para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Defino
Isso me dá
. Vou precisar de
. Calculo:
Explicação rápida (regra usada): a derivada de
é
vezes a derivada do expoente
, que é
.
Passo 3
Agora lembro (e explico) a fórmula da derivada da função arco-seno composta:
- Se
com , então pela regra da cadeia
O que isso significa: a derivada de
em relação ao argumento é
; aplicando a cadeia multiplica-se por
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
, obtenho a primeira derivada:
Para facilitar a diferenciação posterior, é conveniente escrever isso como produto:
Passo 5
Vou diferenciar
onde defini
.
Usarei a regra do produto: se então
. Aqui
e
.
Usarei a regra do produto: se
- Primeiro
. - Depois preciso de
. Pela regra da cadeia:
Passo 6
Calculo
. Lembrando
, então
Já sei
, portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Agora aplico a regra do produto para
:
Multiplicando:
Passo 8
Faço uma fatoração para simplificar. Coloco fator comum
:
Agora calculo
. Lembro que
. Expando e simplifico:
Então
Substituindo de volta:
Passo 9
Reescrevo
em termos da expressão original para apresentar a resposta final:
portanto
Opcionalmente, usando
, obtém-se a forma equivalente mais compacta