Encontre \frac{d^{2} y}{d x^{2}} :
y=\operatorname{arcsen}\left(e^{2 x}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede claramente para encontrar a segunda derivada de y em relação a x onde a função é
y=\operatorname{arcsen}\!\bigl(e^{2x}-1\bigr).
Informações dadas e objetivo:
  • A função é y=\operatorname{arcsen}\bigl(e^{2x}-1\bigr).
  • Precisa-se calcular \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (a segunda derivada).
  • Não há outras informações numéricas; trabalhar simbolicamente.

Passo 2

Primeiro passo prático: identificar uma substituição útil para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Defino
u(x)=e^{2x}-1.
Isso me dá y=\operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr). Vou precisar de u'(x). Calculo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-1\bigr)=2e^{2x}.
Explicação rápida (regra usada): a derivada de e^{2x} é e^{2x} vezes a derivada do expoente 2x, que é 2.

Passo 3

Agora lembro (e explico) a fórmula da derivada da função arco-seno composta:
  • Se y=\operatorname{arcsen}(u) com u=u(x), então pela regra da cadeia
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
O que isso significa: a derivada de \operatorname{arcsen} em relação ao argumento é 1/\sqrt{1-u^{2}}; aplicando a cadeia multiplica-se por u'(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula com u(x)=e^{2x}-1 e u'(x)=2e^{2x}, obtenho a primeira derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{2x}}{\sqrt{1-\bigl(e^{2x}-1\bigr)^{2}}}.
Para facilitar a diferenciação posterior, é conveniente escrever isso como produto:
\frac{dy}{dx}=2e^{2x}\Bigl(1-\bigl(e^{2x}-1\bigr)^{2}\Bigr)^{-1/2}.

Passo 5

Vou diferenciar \dfrac{dy}{dx}=2e^{2x}\,v^{-1/2} onde defini v(x)=1-\bigl(e^{2x}-1\bigr)^{2}.
Usarei a regra do produto: se f=ab então f'=a'b+ab'. Aqui a(x)=2e^{2x} e b(x)=v(x)^{-1/2}.
  • Primeiro a'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(2e^{2x}\bigr)=4e^{2x}.
  • Depois preciso de b'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(v^{-1/2}\bigr). Pela regra da cadeia:
b'(x)=-\tfrac{1}{2}v^{-3/2}v'(x).

Passo 6

Calculo v'(x). Lembrando v(x)=1-(e^{2x}-1)^{2}, então
v'(x)=-2\bigl(e^{2x}-1\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-1\bigr).
Já sei \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-1\bigr)=2e^{2x}, portanto
v'(x)=-2\bigl(e^{2x}-1\bigr)\cdot 2e^{2x}=-4e^{2x}\bigl(e^{2x}-1\bigr).
Substituindo em b'(x):
b'(x)=-\tfrac{1}{2}v^{-3/2}\cdot\bigl(-4e^{2x}(e^{2x}-1)\bigr)=2e^{2x}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,v^{-3/2}.

Passo 7

Agora aplico a regra do produto para \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=(2e^{2x})'v^{-1/2}+2e^{2x}\,b'(x):
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=4e^{2x}v^{-1/2}+2e^{2x}\cdot\bigl(2e^{2x}(e^{2x}-1)\,v^{-3/2}\bigr).
Multiplicando:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=4e^{2x}v^{-1/2}+4e^{4x}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,v^{-3/2}.

Passo 8

Faço uma fatoração para simplificar. Coloco fator comum 4e^{2x}v^{-3/2}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=4e^{2x}v^{-3/2}\Bigl(v+e^{2x}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\Bigr).
Agora calculo v+e^{2x}(e^{2x}-1). Lembro que v=1-(e^{2x}-1)^{2}. Expando e simplifico:
v=1-\bigl(e^{4x}-2e^{2x}+1\bigr)=2e^{2x}-e^{4x}.
Então
v+e^{2x}(e^{2x}-1)=(2e^{2x}-e^{4x})+(e^{4x}-e^{2x})=e^{2x}.
Substituindo de volta:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=4e^{2x}v^{-3/2}\cdot e^{2x}=4e^{4x}v^{-3/2}.

Passo 9

Reescrevo v em termos da expressão original para apresentar a resposta final:
v=1-\bigl(e^{2x}-1\bigr)^{2},
portanto
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{4e^{4x}}{\bigl(1-(e^{2x}-1)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Opcionalmente, usando 1-(e^{2x}-1)^{2}=e^{2x}(2-e^{2x}), obtém-se a forma equivalente mais compacta
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{4e^{x}}{\bigl(2-e^{2x}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{4e^{4x}}{\bigl(1-(e^{2x}-1)^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{4e^{x}}{\bigl(2-e^{2x}\bigr)^{3/2}}

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