Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V(t)=6(110-3 t)^{2}.
(a) Qual é o volume inicial nesse reservatório?
(b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas.
(c) Após quanto tempo a taxa de variação do volume será de -1.800 l / h ?
(d) Supondo que tal reservatório possua formato de um cilindro circular reto, cuja a área da base é 1.000 m^{2}, qual é a taxa de variação da altura da água quando o tempo é 5 horas.

Passo 1

O enunciado fornece a quantidade de água no reservatório, em litros, como função do tempo t em horas:
V(t)=6(110-3t)^{2},
e faz quatro perguntas:
(a) Qual é o volume inicial no reservatório? (ou seja, V em t=0).
(b) Qual é a taxa de variação do volume após 8 horas? (ou seja, V'(8), em litros por hora).
(c) Após quanto tempo a taxa de variação do volume será -1.800\\ \mathrm{L/h}? (resolver para t tal que V'(t)=-1800).
(d) Se o reservatório é um cilindro com área da base A=1000\\ \mathrm{m^{2}}, qual é a taxa de variação da altura da água h(t) quando t=5 horas? (temos relação entre volume e altura: V_{\text{m}^3}=A\cdot h; atenção às unidades: 1\\ \mathrm{L}=0,001\\ \mathrm{m^3}).
Informações relevantes dadas:
  • V(t) está em litros.
  • t está em horas.
  • A=1000\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Conversão necessária: 1\\ \mathrm{L}=0,001\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 2

(a) Volume inicial: isso significa calcular V(0). Substituir t=0 em \,V(t)=6(110-3t)^{2}\,:
V(0)=6(110-3\cdot 0)^{2}=6(110)^{2}.
Agora calcular 110^{2}=12100 e multiplicar por 6:
V(0)=6\cdot 12100=72600.
Portanto o volume inicial é \,72600\\ \mathrm{L}.

Passo 3

Para responder (b) e (c) precisamos da taxa de variação do volume, isto é da derivada \dfrac{dV}{dt}. Vou explicar a regra usada: quando temos uma função composta \,V(t)=k\cdot u(t)^{2}\, onde u(t)=110-3t e k=6, a derivada segue a regra da cadeia: primeiro deriva-se o quadrado u^{2} obtendo 2u, depois multiplica-se pela derivada interna u'(t). Assim:
\frac{dV}{dt}=6\cdot 2(110-3t)\cdot \frac{d}{dt}(110-3t).
Como \dfrac{d}{dt}(110-3t)=-3, vem
\frac{dV}{dt}=12(110-3t)\cdot(-3)=-36(110-3t).
Podemos também expandir para forma linear em t:
\frac{dV}{dt}=-36(110-3t)=-3960+108t.
Unidade: litros por hora ( \mathrm{L/h}).

Passo 4

(b) Taxa após 8 horas: usar a fórmula da derivada e substituir t=8:
\frac{dV}{dt}\Big|_{t=8}=-36(110-3\cdot 8)=-36(110-24)=-36\cdot 86.
Calcular -36\cdot 86. Primeiro 36\cdot 80=2880 e 36\cdot 6=216, somando 2880+216=3096. Como há sinal negativo:
\frac{dV}{dt}\Big|_{t=8}=-3096\\ \mathrm{L/h}.
Interpretação: o volume está diminuindo a 3096 litros por hora após 8 horas.

Passo 5

(c) Procuramos o tempo t tal que \dfrac{dV}{dt}=-1800\\ \mathrm{L/h}. Usar a expressão \dfrac{dV}{dt}=-36(110-3t) e resolver:
-36(110-3t)=-1800.
Dividindo ambos os lados por -36:
110-3t=\frac{-1800}{-36}=50.
Passo seguinte:
110-3t=50\quad\Rightarrow\quad 3t=110-50=60\quad\Rightarrow\quad t=20.
Logo a taxa será -1800\\ \mathrm{L/h} quando t=20 horas.

Passo 6

(d) Queremos \dfrac{dh}{dt} em t=5. Relação geométrica entre volume (em metros cúbicos) e altura num cilindro: \,V_{\mathrm{m^{3}}}=A\cdot h\,. Diferenciando em relação ao tempo:
\frac{dV_{\mathrm{m^{3}}}}{dt}=A\cdot\frac{dh}{dt}.
Como a função V(t) dada está em litros, primeiro calcular \dfrac{dV}{dt} em litros por hora no instante t=5, depois converter para \mathrm{m^{3}/h} usando 1\\ \mathrm{L}=0,001\\ \mathrm{m^{3}}.
Calcular \dfrac{dV}{dt} em t=5:
\frac{dV}{dt}\Big|_{t=5}=-36(110-3\cdot 5)=-36(110-15)=-36\cdot 95.
Calcular 36\cdot 95=36\cdot(100-5)=3600-180=3420. Com o sinal:
\frac{dV}{dt}\Big|_{t=5}=-3420\\ \mathrm{L/h}.
Converter para \mathrm{m^{3}/h}:
\frac{dV_{\mathrm{m^{3}}}}{dt}=-3420\times 0,001=-3,42\\ \mathrm{m^{3}/h}.
Agora usar \dfrac{dV_{\mathrm{m^{3}}}}{dt}=A\cdot \dfrac{dh}{dt} com A=1000\\ \mathrm{m^{2}}:
-3,42=1000\cdot \frac{dh}{dt}\quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt}=\frac{-3,42}{1000}=-0,00342\\ \mathrm{m/h}.
Interpretação prática: a altura do nível de água está diminuindo a 0,00342 metros por hora, ou seja 3,42 milímetros por hora, no instante t=5 horas.

Resposta

(a) 72600\\ \mathrm{L}
(b) -3096\\ \mathrm{L/h}
(c) 20\\ \mathrm{h}
(d) -0,00342\\ \mathrm{m/h}

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