Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V(t)=6(110-3 t)^{2}.
(a) Qual é o volume inicial nesse reservatório?
(b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas.
(c) Após quanto tempo a taxa de variação do volume será de -1.800 l / h ?
(d) Supondo que tal reservatório possua formato de um cilindro circular reto, cuja a área da base é 1.000 m^{2}, qual é a taxa de variação da altura da água quando o tempo é 5 horas.
Passo 1
O enunciado fornece a quantidade de água no reservatório, em litros, como função do tempo t em horas:
V(t)=6(110-3t)^{2},
e faz quatro perguntas:
(a) Qual é o volume inicial no reservatório? (ou seja, V em t=0).
(b) Qual é a taxa de variação do volume após 8 horas? (ou seja, V'(8), em litros por hora).
(c) Após quanto tempo a taxa de variação do volume será -1.800\\ \mathrm{L/h}? (resolver para t tal que V'(t)=-1800).
(d) Se o reservatório é um cilindro com área da base A=1000\\ \mathrm{m^{2}}, qual é a taxa de variação da altura da água h(t) quando t=5 horas? (temos relação entre volume e altura: V_{\text{m}^3}=A\cdot h; atenção às unidades: 1\\ \mathrm{L}=0,001\\ \mathrm{m^3}).
(a) Volume inicial: isso significa calcular V(0). Substituir t=0 em \,V(t)=6(110-3t)^{2}\,:
V(0)=6(110-3\cdot 0)^{2}=6(110)^{2}.
Agora calcular 110^{2}=12100 e multiplicar por 6:
V(0)=6\cdot 12100=72600.
Portanto o volume inicial é \,72600\\ \mathrm{L}.
Passo 3
Para responder (b) e (c) precisamos da taxa de variação do volume, isto é da derivada \dfrac{dV}{dt}. Vou explicar a regra usada: quando temos uma função composta \,V(t)=k\cdot u(t)^{2}\, onde u(t)=110-3t e k=6, a derivada segue a regra da cadeia: primeiro deriva-se o quadrado u^{2} obtendo 2u, depois multiplica-se pela derivada interna u'(t). Assim:
Logo a taxa será -1800\\ \mathrm{L/h} quando t=20 horas.
Passo 6
(d) Queremos \dfrac{dh}{dt} em t=5. Relação geométrica entre volume (em metros cúbicos) e altura num cilindro: \,V_{\mathrm{m^{3}}}=A\cdot h\,. Diferenciando em relação ao tempo:
Como a função V(t) dada está em litros, primeiro calcular \dfrac{dV}{dt} em litros por hora no instante t=5, depois converter para \mathrm{m^{3}/h} usando 1\\ \mathrm{L}=0,001\\ \mathrm{m^{3}}.