Na prática de prova usamos regras que nos permitem calcular esse limite sem refazê-lo do zero toda vez. Vou te lembrar as regras que vamos usar, explicando cada uma de forma simples.
Passo 3
Regra da linearidade (soma e constante múltipla):
Se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=u'(x)+v'(x)
e, para constante c,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot u'(x).
Isso quer dizer que podemos derivar termo a termo e fatorar constantes. Um exemplo rápido: \frac{d}{dx}\bigl(3x^2+5x\bigr)=3\cdot 2x + 5\cdot 1=6x+5.
Passo 4
Regra da derivada da função identidade e da exponencial:
A derivada de x em relação a x é
\frac{d}{dx}x=1,
porque a taxa de variação de x com respeito a si mesmo é sempre 1.
A derivada da função exponencial e^{x} é
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
ou seja, a exponencial é uma função que tem a propriedade muito prática de se derivar e voltar ela mesma. Uma forma curta de ver isso é usar a definição do limite:
onde usamos o fato conhecido de que \lim_{h\to0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1 (isso pode ser provado usando a série de Taylor de e^{h} ou a definição da constante e).
Passo 5
Agora aplicamos tudo à função \;y=e^{x}-4x\;. Usando linearidade, derivamos termo a termo:
Interpretação rápida e checagem: se quiser ver um número, no ponto x=0 temos \dfrac{dy}{dx}\big|_{x=0}=e^{0}-4=1-4=-3. Isso significa que, em x=0, a função está descendo com inclinação -3. Vai dar tudo certo na prova — memorizando que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e que a derivada de ax é a, você resolve questões assim rapidinho.