Encontre \frac{d y}{d x}.
y=e^{x}-4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} da função dada. As informações fornecidas são:
y = e^{x} - 4x.
Portanto a pergunta é: qual é a derivada de y em relação a x para essa função? O domínio implícito da função é \mathbb{R}.

Passo 2

O que significa \dfrac{dy}{dx}? É a taxa de variação de y em relação a x, definida por
\dfrac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Na prática de prova usamos regras que nos permitem calcular esse limite sem refazê-lo do zero toda vez. Vou te lembrar as regras que vamos usar, explicando cada uma de forma simples.

Passo 3

Regra da linearidade (soma e constante múltipla):
Se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=u'(x)+v'(x)
e, para constante c,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot u'(x).
Isso quer dizer que podemos derivar termo a termo e fatorar constantes. Um exemplo rápido: \frac{d}{dx}\bigl(3x^2+5x\bigr)=3\cdot 2x + 5\cdot 1=6x+5.

Passo 4

Regra da derivada da função identidade e da exponencial:
A derivada de x em relação a x é
\frac{d}{dx}x=1,
porque a taxa de variação de x com respeito a si mesmo é sempre 1.
A derivada da função exponencial e^{x} é
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
ou seja, a exponencial é uma função que tem a propriedade muito prática de se derivar e voltar ela mesma. Uma forma curta de ver isso é usar a definição do limite:
\frac{d}{dx}e^{x}=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^{x}\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}\cdot 1=e^{x},
onde usamos o fato conhecido de que \lim_{h\to0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1 (isso pode ser provado usando a série de Taylor de e^{h} ou a definição da constante e).

Passo 5

Agora aplicamos tudo à função \;y=e^{x}-4x\;. Usando linearidade, derivamos termo a termo:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr).
Calculamos cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x},
e, pela regra da constante múltipla,
\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}x=4\cdot 1=4.
Portanto
\frac{dy}{dx}=e^{x}-4.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: se quiser ver um número, no ponto x=0 temos \dfrac{dy}{dx}\big|_{x=0}=e^{0}-4=1-4=-3. Isso significa que, em x=0, a função está descendo com inclinação -3. Vai dar tudo certo na prova — memorizando que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e que a derivada de ax é a, você resolve questões assim rapidinho.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=e^{x}-4

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