16 { }^{\text {a }} Questão a) Se existe o \lim _{x \longrightarrow a} f(x), então \lim _{x \longrightarrow a} f(x)=f(a) ? Justifique sua resposta.
b) Considere que existe o \lim _{x \longrightarrow a} f(x), mas \lim _{x \longrightarrow a} f(x) \neq f(a). O que você pode afirmar a respeito de f(x) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
  • (a) Pergunta: Se existe o \lim_{x\to a} f(x), então vale \lim_{x\to a} f(x)=f(a)? Justifique.
  • (b) Pergunta: Suponha que existe o \lim_{x\to a} f(x), mas \lim_{x\to a} f(x)\neq f(a). O que podemos afirmar sobre f(x)? Justifique.
    Informações dadas (relevantes): em ambas as partes sabemos que o limite \lim_{x\to a} f(x) existe (é um número finito); na parte (b) sabemos também que o valor f(a) está definido e é diferente desse limite.

Passo 2

Definição clara e útil de limite (forma intuitiva e técnica): dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de a (mas x\neq a), os valores f(x) se aproximam de L. Em linguagem epsilon-delta: \lim_{x\to a} f(x)=L significa
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-a|<\delta,\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Note: essa definição fala só do comportamento de f(x) para x diferentes de a; não impõe nada sobre o valor f(a).

Passo 3

Definição de continuidade em a (porque é central para as respostas): dizemos que f é contínua em a se e somente se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a). Ou seja, continuidade em a = limite existe + limite igual ao valor da função em a.

Passo 4

Resposta à parte (a) com justificativa: a afirmação "se existe \lim_{x\to a} f(x)\) então \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\)" é falsa. Justificativa por contraexemplo simples e completo: - Defina a função \[f(x)=\begin{cases} 0, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0. \end{cases}
  • Para x\neq 0\] temos \(f(x)=0. Logo, ao aproximar x de 0 com x\neq 0, os valores f(x) são iguais a 0, de modo que \lim_{x\to 0} f(x)=0. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 podemos escolher qualquer \delta>0; se 0<|x-0|<\delta então |f(x)-0|=0<\varepsilon, portanto o limite é 0.
  • Porém f(0)=1. Assim \lim_{x\to 0} f(x)=0\neq 1=f(0).
    Conclusão da (a): o fato do limite existir não garante que ele seja igual a f(a). A igualdade ocorre exatamente quando f é contínua em a.]

Passo 5

Explicação didática do porquê a situação da (a) não é rara e como chamamos esse caso: quando \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas f(a) é diferente ou f(a) nem está definido, dizemos que a descontinuidade em a é “removível”. Porque basta redefinir o valor de f em a para o valor do limite para “remover” a descontinuidade.

Passo 6

Resposta e justificativa detalhada para a parte (b):
  • Hipótese: \lim_{x\to a} f(x)=L\) existe e é finito, mas \(f(a)\neq L\). - O que podemos afirmar: \(f\) é descontínua em \(a\). Explicação: pela definição de continuidade (Passo 3), para ser contínua em \(a\) é necessário que \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\); como essa igualdade não ocorre, \(f\) não é contínua em \(a\). - Além disso podemos afirmar que a descontinuidade em \(a\) é removível. Justifico: defina uma nova função \(g\) por \[g(x)=\begin{cases} f(x), & x\neq a,\\[4pt] L, & x=a, \end{cases}
onde L=\lim_{x\to a} f(x)\]. Para \(x\neq a o comportamento de g é igual ao de f, e por hipótese \lim_{x\to a} g(x)=L. Mas g(a)=L por definição, logo \lim_{x\to a} g(x)=g(a) e g é contínua em a. Assim, bastou alterar o valor em um único ponto para restaurar a continuidade — é exatamente a ideia de descontinuidade removível.
  • Observação prática: na prova, quando vir que o limite existe e difere do valor da função, já pode afirmar imediatamente que há uma descontinuidade removível em a (ou simplesmente que f é descontínua em a e que pode ser “consertada” redefinindo f(a) para o limite).]

Resposta

(a) Não — a existência de \lim_{x\to a} f(x)\) não implica \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\). Contraexemplo: \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&x\neq0,\\\ 1,&x=0,\end{cases} tem \lim_{x\to0}f(x)=0 mas f(0)=1.
(b) f é descontínua em a e a descontinuidade é removível: se \lim_{x\to a} f(x)=L\neq f(a), redefinindo f(a):=L a função fica contínua em a.

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