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Questão a) Se existe o
, então
? Justifique sua resposta.
b) Considere que existe o
, mas
. O que você pode afirmar a respeito de
? Justifique sua resposta.
b) Considere que existe o
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
- (a) Pergunta: Se existe o
, então vale ? Justifique. - (b) Pergunta: Suponha que existe o
, mas . O que podemos afirmar sobre ? Justifique.
Informações dadas (relevantes): em ambas as partes sabemos que o limiteexiste (é um número finito); na parte (b) sabemos também que o valor está definido e é diferente desse limite.
Passo 2
Definição clara e útil de limite (forma intuitiva e técnica): dizer que
significa que, quando
se aproxima de
(mas
), os valores
se aproximam de
. Em linguagem epsilon-delta:
significa
Note: essa definição fala só do comportamento de
para
diferentes de
; não impõe nada sobre o valor
.
Passo 3
Definição de continuidade em
(porque é central para as respostas): dizemos que
é contínua em
se e somente se
existe e é igual a
. Ou seja, continuidade em
= limite existe + limite igual ao valor da função em
.
Passo 4
Resposta à parte (a) com justificativa: a afirmação "se existe
- Para
. Logo, ao aproximar
de com , os valores são iguais a , de modo que . Formalmente, para qualquer podemos escolher qualquer ; se então , portanto o limite é . - Porém
. Assim .
Conclusão da (a): o fato do limite existir não garante que ele seja igual a. A igualdade ocorre exatamente quando é contínua em .]
Passo 5
Explicação didática do porquê a situação da (a) não é rara e como chamamos esse caso: quando
existe e é finito, mas
é diferente ou
nem está definido, dizemos que a descontinuidade em
é “removível”. Porque basta redefinir o valor de
em
para o valor do limite para “remover” a descontinuidade.
Passo 6
Resposta e justificativa detalhada para a parte (b):
- Hipótese:
onde
o comportamento de
é igual ao de
, e por hipótese
. Mas
por definição, logo
e
é contínua em
. Assim, bastou alterar o valor em um único ponto para restaurar a continuidade — é exatamente a ideia de descontinuidade removível.
- Observação prática: na prova, quando vir que o limite existe e difere do valor da função, já pode afirmar imediatamente que há uma descontinuidade removível em
(ou simplesmente que é descontínua em e que pode ser “consertada” redefinindo para o limite).]
Resposta
(a) Não — a existência de
tem
mas
.
(b)
é descontínua em
e a descontinuidade é removível: se
, redefinindo
a função fica contínua em
.