Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
. Informações relevantes: a função envolve
, logo o domínio natural considerado é
(pois
precisa ser real). Não foi pedido método específico, então vamos simplificar a expressão antes de derivar para facilitar os cálculos.
Passo 2
Vamos reescrever a função termo a termo para simplificar. Primeiro, escrevo
como potência:
. Então
Agora separo a fração em duas parcelas:
Passo 3
Simplifico cada parcela. A primeira é óbvia:
Na segunda, uso a regra de potências para dividir:
. Portanto
Passo 4
Vou explicar as regras de derivação que vou usar (bem mastigadas):
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja,
. - A derivada de uma constante é zero:
para constante . - Regra das potências (power rule): se
, então . Aqui pode ser inteiro, fracionário ou negativo — a fórmula continua válida.
No nosso caso temos termos
(constante) e
(potência com
).
Passo 5
Aplico as regras termo a termo. Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo, usando o power rule com
:
Somando as partes:
Passo 6
Transformo a resposta para formas equivalentes que costumam cair bem na prova:
Lembre-se do domínio: essa derivada vale para
, que é onde a função original está definida (com raiz real).