Encontre \frac{d y}{d x}.
y=\frac{x+\sqrt{x}}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\frac{x+\sqrt{x}}{x} e pede para encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx}. Informações relevantes: a função envolve \sqrt{x}, logo o domínio natural considerado é x>0 (pois \sqrt{x} precisa ser real). Não foi pedido método específico, então vamos simplificar a expressão antes de derivar para facilitar os cálculos.

Passo 2

Vamos reescrever a função termo a termo para simplificar. Primeiro, escrevo \sqrt{x} como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
y=\frac{x+x^{1/2}}{x}.
Agora separo a fração em duas parcelas:
y=\frac{x}{x}+\frac{x^{1/2}}{x}.

Passo 3

Simplifico cada parcela. A primeira é óbvia:
\frac{x}{x}=1.
Na segunda, uso a regra de potências para dividir: \displaystyle \frac{x^{1/2}}{x}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}. Portanto
y=1+x^{-1/2}.

Passo 4

Vou explicar as regras de derivação que vou usar (bem mastigadas):
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja, \displaystyle \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.
  • A derivada de uma constante é zero: \displaystyle \frac{d}{dx}\text{(c)}=0 para constante c.
  • Regra das potências (power rule): se \displaystyle f(x)=x^{n}, então \displaystyle f'(x)=n x^{\,n-1}. Aqui n pode ser inteiro, fracionário ou negativo — a fórmula continua válida.
No nosso caso temos termos 1 (constante) e x^{-1/2} (potência com n=-\tfrac{1}{2}).

Passo 5

Aplico as regras termo a termo. Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}(1)=0.
Derivada do segundo termo, usando o power rule com n=-\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)x^{-1/2-1}=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)x^{-3/2}.
Somando as partes:
\frac{dy}{dx}=0+\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)x^{-3/2}=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 6

Transformo a resposta para formas equivalentes que costumam cair bem na prova:
-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.
Lembre-se do domínio: essa derivada vale para x>0, que é onde a função original está definida (com raiz real).

Resposta

-\dfrac{1}{2x^{3/2}}

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