Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
para a função
Informações dadas:
- A função
é a razão entre e . - A tarefa é calcular a derivada
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): aqui é muito conveniente usar a diferenciação logarítmica. Vou explicar por quê e como funciona de maneira simples.
- Ideia principal: se
, aplicar logaritmo natural em ambos os lados transforma potências em produtos, o que facilita derivar. - Fórmula útil (cadeia): se
depende de , então
Ou seja, depois de achar
podemos recuperar
por
- Também usamos a regra: para uma função composta
, (regra da cadeia aplicada ao log).
Vou aplicar isso passo a passo — é direto e evita expandir potências e fazer muitas contas desnecessárias.
Passo 3
Aplicar
em ambos os lados e usar as propriedades de logaritmo (potência vira multiplicador):
Passo 4
Derivar ambos os lados em relação a
. Usando
:
-
Para
: a derivada de é . Multiplicando por dá . -
Para
: a derivada de é . Multiplicando por dá .
Portanto
Passo 5
Isolar
e substituir
pela expressão original:
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo para ficar com um resultado elegante.
Passo 6
Distribuir e simplificar cada parcela:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Colocando com denominador comum
:
Fator comum
:
Passo 7
Simplificar o que está no parêntese:
- Calcular
. - Calcular
.
Subtraindo:
Fatorando
:
Portanto