Encontre d y / d x.
y=\frac{(2 x+3)^{3}}{\left(4 x^{2}-1\right)^{8}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar \dfrac{d y}{d x} para a função
y=\frac{(2x+3)^{3}}{(4x^{2}-1)^{8}}.
Informações dadas:
  • A função y é a razão entre (2x+3)^{3} e (4x^{2}-1)^{8}.
  • A tarefa é calcular a derivada \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): aqui é muito conveniente usar a diferenciação logarítmica. Vou explicar por quê e como funciona de maneira simples.
  • Ideia principal: se y>0, aplicar logaritmo natural em ambos os lados transforma potências em produtos, o que facilita derivar.
  • Fórmula útil (cadeia): se y depende de x, então
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}.
Ou seja, depois de achar \dfrac{d}{dx}(\ln y) podemos recuperar \dfrac{dy}{dx} por
\frac{dy}{dx}=y\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln y\big).
  • Também usamos a regra: para uma função composta u(x), \dfrac{d}{dx}(\ln u)=\dfrac{u'}{u} (regra da cadeia aplicada ao log).
Vou aplicar isso passo a passo — é direto e evita expandir potências e fazer muitas contas desnecessárias.

Passo 3

Aplicar \ln em ambos os lados e usar as propriedades de logaritmo (potência vira multiplicador):
\ln y = \ln\big((2x+3)^{3}\big) - \ln\big((4x^{2}-1)^{8}\big)
\ln y = 3\ln(2x+3) - 8\ln(4x^{2}-1).

Passo 4

Derivar ambos os lados em relação a x. Usando \dfrac{d}{dx}(\ln u)=\dfrac{u'}{u}:
  • Para 3\ln(2x+3): a derivada de \ln(2x+3) é \dfrac{(2x+3)'}{2x+3}=\dfrac{2}{2x+3}. Multiplicando por 3 \dfrac{6}{2x+3}.
  • Para -8\ln(4x^{2}-1): a derivada de \ln(4x^{2}-1) é \dfrac{(4x^{2}-1)'}{4x^{2}-1}=\dfrac{8x}{4x^{2}-1}. Multiplicando por -8 -8\cdot\dfrac{8x}{4x^{2}-1}=-\dfrac{64x}{4x^{2}-1}.
Portanto
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{6}{2x+3}-\frac{64x}{4x^{2}-1}.

Passo 5

Isolar \dfrac{dy}{dx} e substituir y pela expressão original:
\frac{dy}{dx}=y\left(\frac{6}{2x+3}-\frac{64x}{4x^{2}-1}\right)
\frac{dy}{dx}=\frac{(2x+3)^{3}}{(4x^{2}-1)^{8}}\left(\frac{6}{2x+3}-\frac{64x}{4x^{2}-1}\right).
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo para ficar com um resultado elegante.

Passo 6

Distribuir e simplificar cada parcela:
  • Primeiro termo:
\frac{(2x+3)^{3}}{(4x^{2}-1)^{8}}\cdot\frac{6}{2x+3} = \frac{6(2x+3)^{2}}{(4x^{2}-1)^{8}}.
  • Segundo termo:
\frac{(2x+3)^{3}}{(4x^{2}-1)^{8}}\cdot\frac{64x}{4x^{2}-1} = \frac{64x(2x+3)^{3}}{(4x^{2}-1)^{9}}.
Colocando com denominador comum (4x^{2}-1)^{9}:
\frac{dy}{dx}=\frac{6(2x+3)^{2}(4x^{2}-1)}{(4x^{2}-1)^{9}}-\frac{64x(2x+3)^{3}}{(4x^{2}-1)^{9}}.
Fator comum \dfrac{(2x+3)^{2}}{(4x^{2}-1)^{9}}:
\frac{dy}{dx}=\frac{(2x+3)^{2}}{(4x^{2}-1)^{9}}\Big(6(4x^{2}-1)-64x(2x+3)\Big).

Passo 7

Simplificar o que está no parêntese:
  • Calcular 6(4x^{2}-1)=24x^{2}-6.
  • Calcular 64x(2x+3)=128x^{2}+192x.
Subtraindo:
6(4x^{2}-1)-64x(2x+3)=(24x^{2}-6)-(128x^{2}+192x)=-104x^{2}-192x-6.
Fatorando -2:
-104x^{2}-192x-6=-2(52x^{2}+96x+3).
Portanto
\frac{dy}{dx}=-2\frac{(2x+3)^{2}\big(52x^{2}+96x+3\big)}{(4x^{2}-1)^{9}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-2\frac{(2x+3)^{2}\big(52x^{2}+96x+3\big)}{(4x^{2}-1)^{9}}

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