Sejam
e
.
Encontre
e
.
Encontre
Passo 1
O enunciado fornece as funções
e
e pede duas coisas:
- Encontrar a composição
. - Encontrar a derivada
.
Informações dadas:
-
. -
.
Passo 2
Definição de composição: para duas funções
e
, a composição
é definida por
Isto significa: pegamos a expressão de
e substituímos no lugar de
em
.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado: como
e
, substitui-se
por
em
. Logo
Essa é a expressão da composição. (Se fosse preciso expandir, usar-se-ia o Teorema Binomial, mas não é necessário para derivar.)
Passo 4
Para derivar uma composição usa-se a regra da cadeia. Enunciado da regra da cadeia:
Explicando:
é a função interna (aqui
),
é a função externa; a derivada de
é a derivada da externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da interna.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia ao nosso caso. Primeiro calcular
como função de uma variável genérica
. Se
, pela regra do poder (power rule) tem-se
Explicação da regra do poder: para
com
inteiro, a derivada em relação a
é
.
Passo 6
Calcular a derivada de
(a função interna): como
,
Isto vem da derivada de
que é
.
Passo 7
Agora aplicar a regra da cadeia: com
,
Substituindo
e
,
Passo 8
Verificação rápida (intuitiva): a fórmula geral para a derivada de
é
. Aqui
,
,
, então obtemos
, mesma resposta.