Sejam f(x)=x^{5} e g(x)=2 x-3.
Encontre (f \circ g)(x) e (f \circ g)^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado fornece as funções f e g e pede duas coisas:
  • Encontrar a composição (f\circ g)(x).
  • Encontrar a derivada (f\circ g)^{\prime}(x).
Informações dadas:
  • f(x)=x^{5}.
  • g(x)=2x-3.

Passo 2

Definição de composição: para duas funções f e g, a composição (f\circ g)(x) é definida por
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Isto significa: pegamos a expressão de g(x) e substituímos no lugar de x em f(x).

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado: como f(x)=x^{5} e g(x)=2x-3, substitui-se x por g(x) em f. Logo
(f\circ g)(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{5}=(2x-3)^{5}.
Essa é a expressão da composição. (Se fosse preciso expandir, usar-se-ia o Teorema Binomial, mas não é necessário para derivar.)

Passo 4

Para derivar uma composição usa-se a regra da cadeia. Enunciado da regra da cadeia:
\text{Se }h(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\text{, então }h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Explicando: u(x) é a função interna (aqui u(x)=g(x)), f é a função externa; a derivada de h é a derivada da externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da interna.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia ao nosso caso. Primeiro calcular f' como função de uma variável genérica u. Se f(u)=u^{5}, pela regra do poder (power rule) tem-se
f'(u)=5u^{4}.
Explicação da regra do poder: para u^{n} com n inteiro, a derivada em relação a u é n u^{n-1}.

Passo 6

Calcular a derivada de g (a função interna): como g(x)=2x-3,
g'(x)=2.
Isto vem da derivada de ax+b que é a.

Passo 7

Agora aplicar a regra da cadeia: com u(x)=g(x)=2x-3,
(f\circ g)^{\prime}(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=5\bigl(g(x)\bigr)^{4}\cdot g'(x).
Substituindo g(x)=2x-3 e g'(x)=2,
(f\circ g)^{\prime}(x)=5(2x-3)^{4}\cdot 2=10(2x-3)^{4}.

Passo 8

Verificação rápida (intuitiva): a fórmula geral para a derivada de (ax+b)^{n} é n(ax+b)^{n-1}\cdot a. Aqui a=2, b=-3, n=5, então obtemos 5(2x-3)^{4}\cdot 2=10(2x-3)^{4}, mesma resposta.

Resposta

(f\circ g)(x)=(2x-3)^{5}\n
(f\circ g)^{\prime}(x)=10(2x-3)^{4}

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