Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é uma potência de uma razão: a parte interna é
e o expoente externo é .
O que precisamos retornar: a expressão deem função de .
Passo 2
Que método usar? Aqui é natural aplicar a regra da cadeia porque temos uma função composta: uma potência (função externa) aplicada a uma função de
(função interna). Para calcular a derivada de uma razão que aparece como função interna usaremos a regra do quociente. Resumo das regras que vamos usar:
- Regra da cadeia: se
com , então . - Regra da potência (caso simples de cadeia): se
, então . - Regra do quociente: se
, então
Vou aplicar essas regras passo a passo — sem pular etapas — para você conseguir reproduzir isso na prova.
Passo 3
Definimos a função interna e a externa para aplicar a cadeia:
Pela regra da cadeia e da potência,
Aqui
vem da regra da potência: derivada de
em relação a
é
. Agora falta calcular
.
Passo 4
Calcular
usando a regra do quociente. Identificamos:
Derivadas simples:
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
Calcule o numerador passo a passo:
Portanto
(Observação: deu uma constante no numerador — às vezes acontece — e isso facilita a expressão final.)
Passo 5
Agora voltamos para
. Substituindo
e
:
Multiplicando os fatores numéricos e combinando potências do mesmo denominador:
Explicando a combinação:
.
Passo 6
Pequeno exemplo extra (para fixar): se tivéssemos
, a parte interna é
com
. Pela cadeia:
É a mesma ideia, só que sem quociente — aqui o “u’” é uma constante simples. Isso mostra como a regra da cadeia combina a derivada da parte externa com a da interna.