Encontre d y / d x.
y=\left(\frac{x-5}{2 x+1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(\frac{x-5}{2x+1}\right)^{3}
e pede para encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de uma razão: a parte interna é \dfrac{x-5}{2x+1} e o expoente externo é 3.
    O que precisamos retornar: a expressão de \dfrac{dy}{dx} em função de x.

Passo 2

Que método usar? Aqui é natural aplicar a regra da cadeia porque temos uma função composta: uma potência (função externa) aplicada a uma função de x (função interna). Para calcular a derivada de uma razão que aparece como função interna usaremos a regra do quociente. Resumo das regras que vamos usar:
  • Regra da cadeia: se y=f(u) com u=g(x), então \dfrac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x).
  • Regra da potência (caso simples de cadeia): se y=u^{n}, então \dfrac{dy}{du}=n\,u^{\,n-1}.
  • Regra do quociente: se u=\dfrac{p(x)}{q(x)}, então
\dfrac{du}{dx}=\frac{p'(x)\,q(x)-p(x)\,q'(x)}{[q(x)]^{2}}.
Vou aplicar essas regras passo a passo — sem pular etapas — para você conseguir reproduzir isso na prova.

Passo 3

Definimos a função interna e a externa para aplicar a cadeia:
u=\frac{x-5}{2x+1},\qquad y=u^{3}.
Pela regra da cadeia e da potência,
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=3u^{2}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui \dfrac{dy}{du}=3u^{2} vem da regra da potência: derivada de u^{3} em relação a u é 3u^{2}. Agora falta calcular \dfrac{du}{dx}.

Passo 4

Calcular \dfrac{du}{dx} usando a regra do quociente. Identificamos:
p(x)=x-5,\qquad q(x)=2x+1.
Derivadas simples:
p'(x)=\frac{d}{dx}(x-5)=1,\qquad q'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
\frac{du}{dx}=\frac{p'(x)\,q(x)-p(x)\,q'(x)}{[q(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(2x+1)-(x-5)\cdot 2}{(2x+1)^{2}}.
Calcule o numerador passo a passo:
1\cdot(2x+1)-(x-5)\cdot 2=2x+1-(2x-10)=2x+1-2x+10=11.
Portanto
\frac{du}{dx}=\frac{11}{(2x+1)^{2}}.
(Observação: deu uma constante no numerador — às vezes acontece — e isso facilita a expressão final.)

Passo 5

Agora voltamos para \dfrac{dy}{dx}=3u^{2}\cdot\dfrac{du}{dx}. Substituindo u=\dfrac{x-5}{2x+1} e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{11}{(2x+1)^{2}}:
\frac{dy}{dx}=3\left(\frac{x-5}{2x+1}\right)^{2}\cdot\frac{11}{(2x+1)^{2}}.
Multiplicando os fatores numéricos e combinando potências do mesmo denominador:
\frac{dy}{dx}=\frac{33\,(x-5)^{2}}{(2x+1)^{2}\,(2x+1)^{2}} =\frac{33\,(x-5)^{2}}{(2x+1)^{4}}.
Explicando a combinação: \left(\dfrac{1}{2x+1}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2x+1}\right)^{2}=\left(\dfrac{1}{2x+1}\right)^{4}=(2x+1)^{-4}.

Passo 6

Pequeno exemplo extra (para fixar): se tivéssemos y=(3x+2)^{3}, a parte interna é u=3x+2 com u'=3. Pela cadeia:
y'=3(3x+2)^{2}\cdot 3=9(3x+2)^{2}.
É a mesma ideia, só que sem quociente — aqui o “u’” é uma constante simples. Isso mostra como a regra da cadeia combina a derivada da parte externa com a da interna.

Resposta

\dfrac{33(x-5)^{2}}{(2x+1)^{4}}

Exercícios relacionados