Encontre \frac{\partial w}{\partial y} se w=x y^{2} e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial \frac{\partial w}{\partial y} da função w(x,y)=x\,y^{2}e^{xy}. O conteúdo aqui é derivada parcial, usando que x é constante e aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos w como o produto de x (constante) por u(y)=y^{2}e^{xy}. Assim,
w(x,y)=x\cdot u(y).
Logo,
\frac{\partial w}{\partial y} = x\;\frac{du}{dy}.

Passo 3

Para achar \frac{du}{dy} aplicamos a regra do produto em u(y)=y^{2}\cdot e^{xy}. Temos
\frac{du}{dy} = \frac{d}{dy}(y^{2})\;e^{xy} + y^{2}\;\frac{d}{dy}\bigl(e^{xy}\bigr).
Como \frac{d}{dy}(y^{2})=2y e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\bigl(e^{xy}\bigr) = e^{xy}\,\frac{d}{dy}(xy) = e^{xy}\,x,
então
\frac{du}{dy} = 2y\,e^{xy} + y^{2}\,e^{xy}\,x.

Passo 4

Substituindo em \frac{\partial w}{\partial y}=x\;\frac{du}{dy}, obtemos
\frac{\partial w}{\partial y} = x\bigl(2y\,e^{xy}+x\,y^{2}\,e^{xy}\bigr) = x\,e^{xy}\bigl(2y+x\,y^{2}\bigr).
Opcionalmente, fatorando y:
\frac{\partial w}{\partial y} = x\,y\,e^{xy}\,(2+x\,y).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial y} = x\,e^{xy}\bigl(2y+x\,y^{2}\bigr).

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