Mostre que f(x, t)=\frac{1}{\sqrt{t}} e^{-\left(\frac{x^{2}}{4 t}\right)} satisfaz a Equação do Calor \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\exp\!\Bigl(-\frac{x^{2}}{4t}\Bigr)
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação do calor
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Para isso, vamos calcular separadamente \frac{\partial f}{\partial t} e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e comparar os resultados.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}. Como
f(x,t)=t^{-1/2}\,e^{-x^{2}/(4t)},
aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(t^{-1/2}\bigr) = -\tfrac12\,t^{-3/2}, \qquad \frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-x^{2}/(4t)}\bigr) = e^{-x^{2}/(4t)}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\!\Bigl(-\tfrac{x^{2}}{4t}\Bigr) = e^{-x^{2}/(4t)}\cdot\frac{x^{2}}{4t^{2}}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial t} = -\tfrac12\,t^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4t)} + t^{-1/2}\,e^{-x^{2}/(4t)}\cdot\tfrac{x^{2}}{4t^{2}}.
Fatorando f(x,t), obtemos
\frac{\partial f}{\partial t} = f(x,t)\,\Bigl(-\tfrac{1}{2t} + \tfrac{x^{2}}{4t^{2}}\Bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Primeiro derivamos em x:
\frac{\partial f}{\partial x} = t^{-1/2}\,\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e^{-x^{2}/(4t)}\Bigr) = t^{-1/2}\,e^{-x^{2}/(4t)}\cdot\Bigl(-\tfrac{2x}{4t}\Bigr) = -\frac{x}{2t}\,f(x,t).
Agora derivamos novamente em x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac{x}{2t}\,f\Bigr) = -\frac{1}{2t}\,f + \Bigl(-\tfrac{x}{2t}\Bigr)\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{2t}\,f + \Bigl(-\tfrac{x}{2t}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{x}{2t}\,f\Bigr) = f(x,t)\,\Bigl(-\tfrac{1}{2t} + \tfrac{x^{2}}{4t^{2}}\Bigr).

Passo 4

Comparando, vemos que
\frac{\partial f}{\partial t} = f(x,t)\,\Bigl(-\tfrac{1}{2t} + \tfrac{x^{2}}{4t^{2}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = f(x,t)\,\Bigl(-\tfrac{1}{2t} + \tfrac{x^{2}}{4t^{2}}\Bigr).
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
logo f satisfaz a equação do calor.

Resposta

Concluímos que
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
ou seja, f(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-x^{2}/(4t)} satisfaz a equação do calor.

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