Encontre a função para o cálculo do campo magnético de um toróide.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados vamos usar (sem pedir nada a você; vou assumir o caso mais comum e útil para prova).\n
  • Pedido: encontrar a função que dá o campo magnético \mathbf{B} de um toróide como função da distância radial r ao eixo do toróide. Vou dar a expressão para as regiões relevantes e explicar todas as hipóteses. \n
  • Dados que introduzo (padrão para o problema): \n
    • N: número total de espiras do enrolamento do toróide (cada espira carrega corrente I).\n
    • I: corrente que percorre cada espira (mesma corrente em todas as espiras).\n
    • a: raio interno do “anel” do toróide (raio menor da região onde não há enrolamento).\n
    • b: raio externo do “anel” do toróide (raio maior da região do enrolamento). A região do núcleo está entre r=a e r=b.\n
    • r: distância radial (do centro do anel) onde se quer o campo magnético; vamos tratar as três regiões r<a, a<r<b e r>b.\n
    • \mu: permeabilidade magnética do meio no núcleo; vou escrever \mu=\mu_0 \mu_r, com \mu_0 a permeabilidade do vácuo e \mu_r a permeabilidade relativa do material (se não há núcleo magnético, \mu_r=1).\n
  • Hipóteses comuns para a prova (expliquei o que estou supondo): o enrolamento é apertado/contínuo e tem simetria toroidal (campo só depende de r e é tangencial azimutal), e não há vazamento significativo do campo fora do toroide (caso ideal). Essas suposições são padrão para obter fórmulas simples e são as que normalmente pedem em prova.

Passo 2

Qual método usar e por que ele é o mais simples aqui.\n
  • Método escolhido: Lei de Ampère (versão integral), porque o toróide tem simetria azimutal e estacionária (magnetostática). A Lei de Ampère conecta diretamente o integral de \mathbf{B} ao redor de um caminho com a corrente total atravessando a superfície limitada por esse caminho, o que nos permite achar B de forma muito direta.\n
  • Por que não outros métodos?: A Biot–Savart dá o campo a partir de uma integral de cada elemento de corrente — é possível, mas trabalhoso para muitas espiras; Ampère explora a simetria e é a forma mais simples e ensinada primeiro, por isso é a escolha certa aqui.

Passo 3

Enunciado da Lei de Ampère e interpretação dos termos (a “aula” necessária).\n
  • A Lei de Ampère (integral) diz:\n
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu I_{\text{enc}}\n
onde:\n
  • \mathcal{C} é uma curva fechada (o caminho de integração, escolhida por nós). \n
  • \mathbf{B} é o campo magnético no ponto do caminho. \n
  • d\boldsymbol{\ell} é um elemento de comprimento ao longo do caminho (vetor tangente). \n
  • \mu é a permeabilidade magnética do meio atravessado (se o caminho atravessa núcleo magnético, usa-se \mu=\mu_0\mu_r). \n
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando qualquer superfície cuja borda seja \mathcal{C} (atenção topológica — em regiões com buracos o cálculo de I_{\text{enc}} precisa de cuidado, explico nos casos abaixo).\n
  • Interpretação prática: se por simetria B for constante ao longo do caminho e paralelo a d\boldsymbol{\ell}, o integral vira B \times (\text{compr. do caminho}), e daí resolvemos para B.

Passo 4

Escolha do caminho de Ampère e argumento de simetria para o toróide.\n
  • Por causa da simetria toroidal (enrolamento uniforme ao redor do anel), o campo magnético gerado é tangencial à circunferência concêntrica com o eixo do toróide. Em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) o campo tem forma \mathbf{B}=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}: depende só de r e aponta na direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}.\n
  • Assim, a escolha natural do caminho \mathcal{C} é uma circunferência de raio r, centrada no eixo do toróide. Para essa curva:\n
    • d\boldsymbol{\ell} = r\,d\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.\n
    • \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_\varphi(r)\,r\,d\varphi. \n
  • O integral ao longo da curva é então:\n
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_\varphi(r)\,r\int_{0}^{2\pi} d\varphi = B_\varphi(r)\, (2\pi r).\n
Portanto, pela Ampère:\n
B_\varphi(r)\,(2\pi r) = \mu\, I_{\text{enc}}(r).

Passo 5

Cálculo de I_{\text{enc}}(r) para as três regiões (a parte crucial que decide B).\n
  • Caso 1: r<a (dentro do “buraco” central do toróide): um caminho circular de raio r não é atravessado por nenhuma espira (nenhuma corrente passa através da superfície limitada pela circunferência). Logo:\n
I_{\text{enc}}(r)=0,\quad\text{para } r<a.\n
  • Caso 2: a<r<b (dentro do corpo do toróide, na região do núcleo onde estão as espiras): a superfície limitada pela circunferência de raio r corta cada uma das N espiras exatamente uma vez (cada volta do fio atravessa a superfície), então a corrente total atravessando a superfície é N vezes a corrente I de cada espira. Logo:\n
I_{\text{enc}}(r)=N I,\quad\text{para } a<r<b.\n
  • Caso 3: r>b (fora do toróide): por topologia/definição do toróide ideal, pode-se escolher uma superfície limitada pela circunferência que passa por fora do toroide de modo a não cortar nenhum fio — o número algébrico de interseções é zero. Em consequência, o fluxo de corrente através de qualquer superfície bordada por essa curva é zero (no sentido algébrico). Portanto, idealmente:\n
I_{\text{enc}}(r)=0,\quad\text{para } r>b.\n
Observação didática rápida: esse resultado (campo praticamente zero fora) corresponde ao fato de que o toróide é como um solenoide fechado sobre si mesmo — a corrente “fecha” internamente e os campos externos se cancelam, em boa aproximação. Em provas isso é aceito quando o enrolamento é denso e simétrico.

Passo 6

Aplicar Ampère usando os I_{\text{enc}}(r) obtidos e resolver para B_\varphi(r).\n
  • Para r<a: como I_{\text{enc}}=0, da Ampère obtemos\n
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad B_\varphi(r)=0.\n
  • Para a<r<b: como I_{\text{enc}}=N I, da Ampère:\n
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu\, (N I) \quad\Rightarrow\quad B_\varphi(r)=\dfrac{\mu\,N I}{2\pi r}.\n
Aqui B_\varphi(r) decai como 1/r dentro do núcleo do toróide.\n
  • Para r>b: com I_{\text{enc}}=0 de novo, temos\n
B_\varphi(r)=0.

Passo 7

Interpretação física, direção do campo e uso de \mu_0 ou \mu.\n
  • Direção: \mathbf{B} é azimutal, isto é, tangente às circunferências concêntricas; o sentido é dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem a corrente ao longo das espiras, o polegar aponta para a direção de \mathbf{B} dentro do anel (mais prático: enrolar os dedos no sentido da corrente nas espiras; o campo é no sentido que o polegar indica ao redor do anel). Em termos de vetor: \mathbf{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.\n
  • Permeabilidade: se não há núcleo magnético escreva \mu=\mu_0 (vácuo), caso haja núcleo com permeabilidade relativa \mu_r então \mu=\mu_0\mu_r e a fórmula fica\n
B_\varphi(r)=\dfrac{\mu_0\mu_r\, N I}{2\pi r},\quad a<r<b.\n
  • Aproximação do “raio médio”: quando a seção transversal do toróide é pequena comparada ao raio médio R do anel (isto é, b-a \ll R), costuma-se aproximar r\approx R dentro do núcleo, obtendo um campo aproximadamente constante no núcleo:\n
B_{\text{aprox}}\approx \dfrac{\mu\, N I}{2\pi R}.
Isso é útil em cálculos rápidos na prova.

Passo 8

Resumo das fórmulas finais e observações de uso em prova.\n
  • Fórmulas finais (todas as variáveis já definidas):\n
    • Para r<a: \displaystyle B(r)=0.\n
    • Para a<r<b: \displaystyle B(r)=\dfrac{\mu\,N I}{2\pi r}.\n
    • Para r>b: \displaystyle B(r)=0.\n
  • Observações práticas para a prova: sempre explique a escolha do caminho de Ampère e justifique que B é tangencial e uniforme ao longo da circunferência por simetria; identifique corretamente quantas espiras são atravessadas pela superfície (isso garante I_{\text{enc}}=0 ou NI). Se o enunciado mencionar núcleo magnético, troque \mu_0 por \mu=\mu_0\mu_r. Se a seção transversal for pequena, use a aproximação com R.

Resposta

Para r<a: \displaystyle B(r)=0.\n
Para a<r<b: \displaystyle B(r)=\dfrac{\mu\,N I}{2\pi r} com \mu=\mu_0\mu_r.\n
Para r>b: \displaystyle B(r)=0.

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