Encontre a função para o cálculo do campo magnético de um toróide.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados vamos usar (sem pedir nada a você; vou assumir o caso mais comum e útil para prova).\n
- Pedido: encontrar a função que dá o campo magnético
de um toróide como função da distância radial ao eixo do toróide. Vou dar a expressão para as regiões relevantes e explicar todas as hipóteses. \n - Dados que introduzo (padrão para o problema): \n
-
: número total de espiras do enrolamento do toróide (cada espira carrega corrente ).\n -
: corrente que percorre cada espira (mesma corrente em todas as espiras).\n -
: raio interno do “anel” do toróide (raio menor da região onde não há enrolamento).\n -
: raio externo do “anel” do toróide (raio maior da região do enrolamento). A região do núcleo está entre e .\n -
: distância radial (do centro do anel) onde se quer o campo magnético; vamos tratar as três regiões , e .\n -
: permeabilidade magnética do meio no núcleo; vou escrever , com a permeabilidade do vácuo e a permeabilidade relativa do material (se não há núcleo magnético, ).\n
-
- Hipóteses comuns para a prova (expliquei o que estou supondo): o enrolamento é apertado/contínuo e tem simetria toroidal (campo só depende de
e é tangencial azimutal), e não há vazamento significativo do campo fora do toroide (caso ideal). Essas suposições são padrão para obter fórmulas simples e são as que normalmente pedem em prova.
Passo 2
Qual método usar e por que ele é o mais simples aqui.\n
- Método escolhido: Lei de Ampère (versão integral), porque o toróide tem simetria azimutal e estacionária (magnetostática). A Lei de Ampère conecta diretamente o integral de
ao redor de um caminho com a corrente total atravessando a superfície limitada por esse caminho, o que nos permite achar de forma muito direta.\n - Por que não outros métodos?: A Biot–Savart dá o campo a partir de uma integral de cada elemento de corrente — é possível, mas trabalhoso para muitas espiras; Ampère explora a simetria e é a forma mais simples e ensinada primeiro, por isso é a escolha certa aqui.
Passo 3
Enunciado da Lei de Ampère e interpretação dos termos (a “aula” necessária).\n
- A Lei de Ampère (integral) diz:\n
onde:\n
-
é uma curva fechada (o caminho de integração, escolhida por nós). \n -
é o campo magnético no ponto do caminho. \n -
é um elemento de comprimento ao longo do caminho (vetor tangente). \n -
é a permeabilidade magnética do meio atravessado (se o caminho atravessa núcleo magnético, usa-se ). \n -
é a corrente elétrica total atravessando qualquer superfície cuja borda seja (atenção topológica — em regiões com buracos o cálculo de precisa de cuidado, explico nos casos abaixo).\n - Interpretação prática: se por simetria
for constante ao longo do caminho e paralelo a , o integral vira , e daí resolvemos para .
Passo 4
Escolha do caminho de Ampère e argumento de simetria para o toróide.\n
- Por causa da simetria toroidal (enrolamento uniforme ao redor do anel), o campo magnético gerado é tangencial à circunferência concêntrica com o eixo do toróide. Em coordenadas cilíndricas
o campo tem forma : depende só de e aponta na direção azimutal .\n - Assim, a escolha natural do caminho
é uma circunferência de raio , centrada no eixo do toróide. Para essa curva:\n -
.\n -
. \n
-
- O integral ao longo da curva é então:\n
Portanto, pela Ampère:\n
Passo 5
Cálculo de
para as três regiões (a parte crucial que decide
).\n
- Caso 1:
(dentro do “buraco” central do toróide): um caminho circular de raio não é atravessado por nenhuma espira (nenhuma corrente passa através da superfície limitada pela circunferência). Logo:\n
- Caso 2:
(dentro do corpo do toróide, na região do núcleo onde estão as espiras): a superfície limitada pela circunferência de raio corta cada uma das espiras exatamente uma vez (cada volta do fio atravessa a superfície), então a corrente total atravessando a superfície é vezes a corrente de cada espira. Logo:\n
- Caso 3:
(fora do toróide): por topologia/definição do toróide ideal, pode-se escolher uma superfície limitada pela circunferência que passa por fora do toroide de modo a não cortar nenhum fio — o número algébrico de interseções é zero. Em consequência, o fluxo de corrente através de qualquer superfície bordada por essa curva é zero (no sentido algébrico). Portanto, idealmente:\n
Observação didática rápida: esse resultado (campo praticamente zero fora) corresponde ao fato de que o toróide é como um solenoide fechado sobre si mesmo — a corrente “fecha” internamente e os campos externos se cancelam, em boa aproximação. Em provas isso é aceito quando o enrolamento é denso e simétrico.
Passo 6
Aplicar Ampère usando os
obtidos e resolver para
.\n
- Para
: como , da Ampère obtemos\n
- Para
: como , da Ampère:\n
Aqui
decai como
dentro do núcleo do toróide.\n
- Para
: com de novo, temos\n
Passo 7
Interpretação física, direção do campo e uso de
ou
.\n
- Direção:
é azimutal, isto é, tangente às circunferências concêntricas; o sentido é dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem a corrente ao longo das espiras, o polegar aponta para a direção de dentro do anel (mais prático: enrolar os dedos no sentido da corrente nas espiras; o campo é no sentido que o polegar indica ao redor do anel). Em termos de vetor: .\n - Permeabilidade: se não há núcleo magnético escreva
(vácuo), caso haja núcleo com permeabilidade relativa então e a fórmula fica\n
- Aproximação do “raio médio”: quando a seção transversal do toróide é pequena comparada ao raio médio
do anel (isto é, ), costuma-se aproximar dentro do núcleo, obtendo um campo aproximadamente constante no núcleo:\n
Isso é útil em cálculos rápidos na prova.
Passo 8
Resumo das fórmulas finais e observações de uso em prova.\n
- Fórmulas finais (todas as variáveis já definidas):\n
- Para
: \n - Para
: \n - Para
: \n
- Para
- Observações práticas para a prova: sempre explique a escolha do caminho de Ampère e justifique que
é tangencial e uniforme ao longo da circunferência por simetria; identifique corretamente quantas espiras são atravessadas pela superfície (isso garante ou ). Se o enunciado mencionar núcleo magnético, troque por . Se a seção transversal for pequena, use a aproximação com .
Resposta
Para
:
\n
Para :
com
.\n
Para :
Para
Para