Questão 1) Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico dado por \vec{E}(z, t)= \left(2,00 \times 10^{4} \frac{\mathrm{~V}}{\mathrm{~m}}\right) \hat{\boldsymbol{\imath}} \cos \left[k z-\left(6,00 \times 10^{11} \frac{r a d}{s}\right) t\right]. (a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Qual é o comprimento de onda? (c) Escreva a equação vetorial para \vec{B}(z, t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o campo elétrico é
\vec{E}(z,t)=\left(2{,}00\times10^{4}\\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}\cos\!\left[k z-\left(6{,}00\times10^{11}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)t\right].
  • Perguntas:
    (a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
    (b) Qual é o comprimento de onda \lambda?
    (c) Escreva a equação vetorial para \vec{B}(z,t).
Observação prática que assumirei (padrão em problemas assim): a onda é eletromagnética viajando no vácuo (ou num meio não dispersivo) — usarei c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e a relação de dispersão \omega=c\,k para ondas eletromagnéticas no vácuo.

Passo 2

Determinar o sentido de propagação a partir da fase \varphi(kz-\omega t).
Explicação didática: para uma onda de forma \cos(kz-\omega t), um ponto de fase constante satisfaz
kz-\omega t=\text{const}.
Isolando z,
z=\frac{\omega}{k}t+\text{const}.
Isto mostra que um ponto de fase fixa desloca-se com velocidade \dfrac{\omega}{k}. Se \dfrac{\omega}{k}>0 o deslocamento é no sentido positivo do eixo z.
Aplicando ao nosso caso: a fase é kz-\omega t com \omega=6{,}00\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s} (positivo). Logo a onda se desloca no sentido positivo do eixo z.
Resposta parcial: a onda propaga-se ao longo do eixo z, no sentido positivo de z (isto é, para + z).

Passo 3

Obter k numericamente usando a relação \omega=c\,k.
Teoria curta: para uma onda eletromagnética plana no vácuo vale a relação de dispersão
\omega = c\,k,
onde \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}) e c é a velocidade da luz no vácuo. Essa relação vem da equação de onda para campos eletromagnéticos no vácuo.
Calcule k:
k=\frac{\omega}{c}=\frac{6{,}00\times10^{11}}{3{,}00\times10^{8}}=2{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda.
Teoria: a relação entre k e \lambda é
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=2{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{rad/m}:
\lambda=\frac{2\pi}{2{,}00\times10^{3}}=\frac{\pi}{1{,}00\times10^{3}}=\pi\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Valor numérico:
\lambda\approx 3{,}1416\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}14\\ \mathrm{mm}.
Também pode-se obter \lambda por \lambda=c/f com f=\omega/(2\pi); dá o mesmo resultado.

Passo 5

Determinar a direção e o módulo do campo magnético \vec{B}(z,t).
Conceito físico e regra prática:
  • Em uma onda eletromagnética plana no vácuo os vetores \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \hat{k} formam um triângulo de mão direita: \hat{k} tem a mesma direção de \vec{E}\times\vec{B}.
  • A amplitude está ligada por
B_0=\frac{E_0}{c},
onde E_0 é a amplitude do campo elétrico e B_0 a amplitude do campo magnético (unidades: E_0 em \mathrm{V/m}, B_0 em T).
No nosso caso:
  • \vec{E} aponta na direção \hat{\boldsymbol{\imath}} (eixo x).
  • Propagação é em +\hat{\mathbf{k}} (eixo z).
Queremos \vec{B} tal que \hat{\mathbf{k}} \propto \vec{E}\times\vec{B}. Se escolhemos \vec{B} na direção \hat{\boldsymbol{\jmath}} (eixo y) então
\hat{\boldsymbol{\imath}}\times\hat{\boldsymbol{\jmath}}=\hat{\mathbf{k}},
o que dá a direção correta (sentido positivo em z). Portanto \vec{B} deve apontar em +\hat{\boldsymbol{\jmath}}.
Calcule a amplitude B_0:
B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{2{,}00\times10^{4}}{3{,}00\times10^{8}}=6{,}666\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\approx6{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Escrever a equação vetorial completa para \vec{B}(z,t).
A forma da onda para \vec{B} acompanha a mesma fase \cos(kz-\omega t). Com direção \hat{\boldsymbol{\jmath}} e amplitude calculada:
\vec{B}(z,t)=\left(6{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cos\!\left[\,\left(2{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{rad/m}\right)z-\left(6{,}00\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s}\right)t\,\right].
Observação final de incentivo: boa notícia — as contas são diretas quando lembrar as duas relações-chave: \omega=c\,k e B_0=E_0/c. Vai dar certo na prova, respira fundo e confia no passo a passo.

Resposta

(a) A onda propaga-se ao longo do eixo z, no sentido positivo de z (para +\hat{\mathbf{k}}).
(b) \lambda=\pi\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\approx3{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (ou 3{,}14\\ \mathrm{mm}).
(c) \displaystyle \vec{B}(z,t)=\left(6{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cos\!\left[\left(2{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{rad/m}\right)z-\left(6{,}00\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s}\right)t\right].

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