Encontre a função complementar para as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a função complementar (ou solução geral homogênea) da equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado substituindo yto e^rx, y'to r e^rx e y''to r^2 e^rx. Assim obtemos
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 + 3r + 2 = 0
usamos fatoração ou fórmula de Bhaskara. Fatorando, vemos que
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2)=0
logo as raízes são
r1 = -1, r2 = -2

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da homogênea é dada por
yc(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1 e r2, temos
yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

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