Explique o que é o Teorema da Convolução, e depois o utilize para obter a transformada de Laplace inversa da função
Passo 1
O enunciado pede para explicar o Teorema da Convolução e em seguida usar esse teorema para encontrar a transformada de Laplace inversa de
O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e Teorema da Convolução, e vamos precisar conhecer as transformadas inversas de cada fator e a definição de convolução no domínio do tempo.
Passo 2
O Teorema da Convolução diz que, se
então
onde a convolução
é definida por
Para inverter um produto
, basta encontrar
e
e calcular essa integral.
Passo 3
Identificamos cada fator de
com a transformada direta de funções conhecidas:
Logo seja
de modo que
Passo 4
Pela definição de convolução,
Para resolver essa integral usamos a identidade
Então
Passo 5
Calculemos as duas integrais:
-
.
Usando, -
.
Usando,
Logo
Ao desenvolver e usar identidades trigonométricas, chega-se a