Explique o que é o Teorema da Convolução, e depois o utilize para obter a transformada de Laplace inversa da função
Y(s) equiv ss^2+100 9s^2+81

Passo 1

O enunciado pede para explicar o Teorema da Convolução e em seguida usar esse teorema para encontrar a transformada de Laplace inversa de
Y(s)=ss^2+100;9s^2+81
O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e Teorema da Convolução, e vamos precisar conhecer as transformadas inversas de cada fator e a definição de convolução no domínio do tempo.

Passo 2

O Teorema da Convolução diz que, se
F(s)=Lf(t), G(s)=Lg(t),
então
L(f*g)(t)=F(s),G(s),
onde a convolução (f*g)(t) é definida por
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
Para inverter um produto F(s),G(s), basta encontrar f(t) e g(t) e calcular essa integral.

Passo 3

Identificamos cada fator de Y(s) com a transformada direta de funções conhecidas:
Lcos(10t) = ss^2+100, Lsin(9t) = 9s^2+81
Logo seja
f(t)=cos(10t), g(t)=sin(9t),
de modo que
Y(s)=F(s),G(s) Longrightarrow y(t)=L^-1Y(s)=(f*g)(t)

Passo 4

Pela definição de convolução,
y(t)=(f*g)(t) =integral0^tcos(10tau),sinl(9(t-tau)r),dtau
Para resolver essa integral usamos a identidade
sinl(9(t-tau)r) =sin(9t)cos(9tau)-cos(9t)sin(9tau)
Então
y(t) =sin(9t)integral0^tcos(10tau)cos(9tau),dtau -cos(9t)integral0^tcos(10tau)sin(9tau),dtau

Passo 5

Calculemos as duas integrais:
  1. A=integral0^tcos(10tau)cos(9tau),dtau.
    Usando cos a,cos b=tfrac12[cos(a-b)+cos(a+b)],
    A =12integral0^tl[cos(tau)+cos(19tau)r]dtau =12l[sintau+sin(19tau)19r]0^t =sin t2+sin(19t)38
  2. B=integral0^tcos(10tau)sin(9tau),dtau.
    Usando cos a,sin b=tfrac12[sin(a+b)-sin(a-b)],
    B =12integral0^tl[sin(19tau)-sin(tau)r]dtau =12l[-cos(19tau)19+costaur]0^t =cos t-12-cos(19t)-138
Logo
y(t) =sin(9t)l(sin t2+sin(19t)38r) -cos(9t)l(cos t-12-cos(19t)-138r)
Ao desenvolver e usar identidades trigonométricas, chega-se a
y(t)=919l[cos(9t)-cos(10t)r]

Resposta

y(t)=919l[cos(9t)-cos(10t)r]

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