Use o exercício anterior para provar que se a>1 e k in N, então
(a) lim n^ka^n=0
(b) lim a^nn!=0
(c) lim n!n^n=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo a>1 e inteiro k>=1, as sequências
xn = n^ka^n, yn = a^nn!, zn = n!n^n
têm limite zero. O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz e o teste da razão para sequências: se para uma sequência de termos não negativos (un) nós tivermos
limsupntoinftyraiz[n]un=L<1,
então unto0. Analogamente, se limntoinftyun+1un=r<1, então unto0.

Passo 2

Analisemos xn = n^ka^n pelo teste da raiz.
raiz[n]xn =raiz[n]n^kraiz[n]a^n =n^,k/na
Como
limntoinftyn^,k/n =limntoinftye^kln nn =e^0 =1,
segue que
limntoinftyraiz[n]xn =1a<1
Pelo teste da raiz, concluímos limntoinftyxn=0.

Passo 3

Para yn = a^nn! aplicamos o teste da razão:
yn+1yn =a^n+1/(n+1)!,a^n/n! =an+1
Como limntoinftyan+1=0<1, o teste da razão dá limntoinftyyn=0.

Passo 4

Finalmente, para zn=n!n^n de novo usamos o teste da razão:
zn+1zn =(n+1)!/(n+1)^,n+1,n!/n^n =n^n(n+1)^n =l(nn+1r)^n =l(1-1n+1r)^n
E sabemos que
limntoinftyl(1-1n+1r)^n =e^-1<1
Logo, pelo teste da razão, limntoinftyzn=0.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) 0

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