Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
\hat{u}(w, t)=\hat{f}(\omega) e^{(-2+i w) t}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Fourier (no espaço, com parâmetro temporal t) da função u por
\hat{u}(\omega,t)=\hat{f}(\omega)\,e^{(-2+i\omega)t}.
A tarefa é encontrar a função u (em termos de x e t) cuja transformada em \omega é essa. As informações relevantes são:
  • \hat{u}(\omega,t) é a transformada em \omega de u(x,t);
  • \hat{f}(\omega) é a transformada em \omega de alguma função inicial f(x);
  • a expressão dada envolve um fator e^{-2t} multiplicando e^{i\omega t} (observe o i\omega t no expoente);
  • não foi fornecida outra convenção, então usaremos a convenção usual de transformada e inversa (explicitada no passo seguinte).

Passo 2

Vamos fixar a convenção de transformada de Fourier que usarei (esta é muito comum e consistente): para uma função espacial g(x),
\hat{g}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,e^{-i\omega x}\,dx
e a transformada inversa é
g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Aqui \omega é a variável no domínio da transformada (frequência) e x é a variável espacial. Explico: \hat{g}(\omega) combina os valores de g(x) com os complexos e^{-i\omega x} para medir “quanto” da frequência \omega está em g. A inversa reconstrói g integrando as contribuições \hat{g}(\omega)e^{i\omega x} e normalizando por 1/(2\pi).

Passo 3

Para recuperar u(x,t) a partir de \hat{u}(\omega,t) usamos a transformada inversa em \omega (trata-se da transformada inversa aplicada, para cada t, à função \omega\mapsto\hat{u}(\omega,t)):
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{u}(\omega,t)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Agora substituímos a expressão dada para \hat{u}(\omega,t):
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{(-2+i\omega)t}\,e^{i\omega x}\,d\omega.

Passo 4

Reorganizando o integrando: o fator e^{-2t} não depende de \omega, então pode sair da integral; os fatores com i\omega se somam no expoente:
u(x,t)=e^{-2t}\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,e^{i\omega x}\,d\omega
ou, juntando os exponenciais,
u(x,t)=e^{-2t}\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega (x+t)}\,d\omega.

Passo 5

Agora reconhecemos a integral: pela fórmula da transformada inversa, para qualquer função f com transformada \hat{f} vale
f(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega y}\,d\omega.
Comparando com a integral que temos, vemos que ela é exatamente f(x+t) (basta tomar y=x+t). Ou seja,
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega (x+t)}\,d\omega = f(x+t).
Esse é o chamado teorema do deslocamento: multiplicar \hat{f}(\omega) por e^{i\omega a} corresponde a deslocar f por -a no domínio? Cuidado com sinais: aqui fizemos a inverse com e^{i\omega(x+t)} então obtemos f(x+t). Em resumo, a integral é f(x+t).

Passo 6

Substituindo no resultado do Passo 4 obtemos a forma final explícita de u:
u(x,t)=e^{-2t}\,f(x+t).
Interpretação: o fator e^{-2t} representa um decaimento exponencial em t e o argumento x+t indica um deslocamento da função espacial f para a esquerda (ou, visto de outra forma, uma onda deslocando-se no tempo). Esta forma é obtida de forma direta pela aplicação da transformada inversa e do teorema de deslocamento da transformada de Fourier.

Passo 7

(Pequeno exemplo para fixar) Se, por exemplo, f(x)=\sin x, então \hat{f} é a transformada de \sin x e a fórmula dá diretamente
u(x,t)=e^{-2t}\sin(x+t).
Isso ilustra concretamente como aparece o fator de decaimento e^{-2t} e o deslocamento no argumento.

Resposta

u(x,t)=e^{-2t}\,f(x+t)

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