Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Fourier (no espaço, com parâmetro temporal
) da função
por
A tarefa é encontrar a função
(em termos de
e
) cuja transformada em
é essa. As informações relevantes são:
-
é a transformada em de ; -
é a transformada em de alguma função inicial ; - a expressão dada envolve um fator
multiplicando (observe o no expoente); - não foi fornecida outra convenção, então usaremos a convenção usual de transformada e inversa (explicitada no passo seguinte).
Passo 2
Vamos fixar a convenção de transformada de Fourier que usarei (esta é muito comum e consistente): para uma função espacial
,
e a transformada inversa é
Aqui
é a variável no domínio da transformada (frequência) e
é a variável espacial. Explico:
combina os valores de
com os complexos
para medir “quanto” da frequência
está em
. A inversa reconstrói
integrando as contribuições
e normalizando por
.
Passo 3
Para recuperar
a partir de
usamos a transformada inversa em
(trata-se da transformada inversa aplicada, para cada
, à função
):
Agora substituímos a expressão dada para
:
Passo 4
Reorganizando o integrando: o fator
não depende de
, então pode sair da integral; os fatores com
se somam no expoente:
ou, juntando os exponenciais,
Passo 5
Agora reconhecemos a integral: pela fórmula da transformada inversa, para qualquer função
com transformada
vale
Comparando com a integral que temos, vemos que ela é exatamente
(basta tomar
). Ou seja,
Esse é o chamado teorema do deslocamento: multiplicar
por
corresponde a deslocar
por
no domínio? Cuidado com sinais: aqui fizemos a inverse com
então obtemos
. Em resumo, a integral é
.
Passo 6
Substituindo no resultado do Passo 4 obtemos a forma final explícita de
:
Interpretação: o fator
representa um decaimento exponencial em
e o argumento
indica um deslocamento da função espacial
para a esquerda (ou, visto de outra forma, uma onda deslocando-se no tempo). Esta forma é obtida de forma direta pela aplicação da transformada inversa e do teorema de deslocamento da transformada de Fourier.
Passo 7
(Pequeno exemplo para fixar) Se, por exemplo,
, então
é a transformada de
e a fórmula dá diretamente
Isso ilustra concretamente como aparece o fator de decaimento
e o deslocamento no argumento.