A equação relaciona \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} com o termo de fonte g(x) (função conhecida de x).
A condição inicial é u(x,0)=f(x) (função conhecida f).
O objetivo é escrever explicitamente \hat{u}(x,t) que satisfaça a PDE e a condição inicial.]
Passo 2
Ideia da técnica (explicação didática e informal): seguimos as curvas ao longo das quais a derivada total de u coincide com o lado esquerdo da PDE. Se eu andar no plano (x,t) seguindo uma curva x(t) e observar u(x(t),t), então a derivada total em relação a t é
Queremos escolher x'(t) de modo que esse lado corresponda ao lado esquerdo da PDE \frac{\partial u}{\partial t}+2\frac{\partial u}{\partial x}. Assim escolhemos x'(t)=2. Essa escolha transforma a PDE em uma ODE ao longo dessas curvas, o que facilita a resolução. Não tem mistério: é só seguir a partícula que se move com velocidade 2 em x.
Passo 3
Escrever o sistema de características e as condições iniciais associadas. Tomamos uma característica que parte do ponto (x_0,0) na linha inicial t=0. As equações são:
Resolver a equação para x(t). Integrando x'(t)=2 com x(0)=x_0 obtemos
x(t)=x_0+2t.
Isso significa que a característica que começa em x_0 no tempo 0 chega ao ponto (x,t) tal que x=x_0+2t. Em particular, dado um ponto (x,t), a condição inicial correspondente é x_0=x-2t.
Passo 5
Resolver a ODE para u ao longo da característica. Como \dfrac{d}{dt}u(x(t),t)=g(x(t)) e u(x(0),0)=f(x_0), integrando de 0 até t obtemos
Simplificar a integral fazendo a mudança de variável para escrever a solução numa forma mais direta. Defina \xi=x-2t+2s. Então quando s=0 temos \xi=x-2t e quando s=t temos \xi=x. Além disso d\xi=2\,ds, ou seja ds=\dfrac{d\xi}{2}. Portanto
Assim a solução ao final do cálculo (forma explícita) é obtida somando a parte de transporte da condição inicial com essa integral de fonte ao longo do segmento em x.
Passo 7
Checagem rápida (pra ficar seguro que a fórmula funciona): com a expressão obtida é fácil ver que em t=0 a integral some e u(x,0)=f(x), como exigido. Se quisermos verificar a PDE, podemos calcular \partial_t u e \partial_x u usando a regra de Leibniz para derivada de integral com limites dependentes e constatar que \partial_t u+2\partial_x u=g(x). Isso confirma que a solução encontrada satisfaz tanto a PDE quanto a condição inicial.