Encontre \hat{u}, sendo:
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t)+2 \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)=g(x) \\\ u(x, 0)=f(x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \hat{u}, solução da equação diferencial parcial com condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t)+2 \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)=g(x)\\[4pt] u(x,0)=f(x) \end{array}\right.
Informações dadas:
  • A função desconhecida é u(x,t).
  • A equação relaciona \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} com o termo de fonte g(x) (função conhecida de x).
  • A condição inicial é u(x,0)=f(x) (função conhecida f).
    O objetivo é escrever explicitamente \hat{u}(x,t) que satisfaça a PDE e a condição inicial.]

Passo 2

Ideia da técnica (explicação didática e informal): seguimos as curvas ao longo das quais a derivada total de u coincide com o lado esquerdo da PDE. Se eu andar no plano (x,t) seguindo uma curva x(t) e observar u(x(t),t), então a derivada total em relação a t é
\frac{d}{dt}u(x(t),t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x(t),t)+x'(t)\frac{\partial u}{\partial x}(x(t),t).
Queremos escolher x'(t) de modo que esse lado corresponda ao lado esquerdo da PDE \frac{\partial u}{\partial t}+2\frac{\partial u}{\partial x}. Assim escolhemos x'(t)=2. Essa escolha transforma a PDE em uma ODE ao longo dessas curvas, o que facilita a resolução. Não tem mistério: é só seguir a partícula que se move com velocidade 2 em x.

Passo 3

Escrever o sistema de características e as condições iniciais associadas. Tomamos uma característica que parte do ponto (x_0,0) na linha inicial t=0. As equações são:
\begin{cases} x'(t)=2,\\[4pt] \displaystyle \frac{d}{dt}u(x(t),t)=g(x(t)), \end{cases}
com condições iniciais
x(0)=x_0,\qquad u(x(0),0)=u(x_0,0)=f(x_0).]

Passo 4

Resolver a equação para x(t). Integrando x'(t)=2 com x(0)=x_0 obtemos
x(t)=x_0+2t.
Isso significa que a característica que começa em x_0 no tempo 0 chega ao ponto (x,t) tal que x=x_0+2t. Em particular, dado um ponto (x,t), a condição inicial correspondente é x_0=x-2t.

Passo 5

Resolver a ODE para u ao longo da característica. Como \dfrac{d}{dt}u(x(t),t)=g(x(t)) e u(x(0),0)=f(x_0), integrando de 0 até t obtemos
u(x(t),t)=f(x_0)+\int_{0}^{t} g\big(x(s)\big)\,ds.
Substituindo x(s)=x_0+2s e lembrando x_0=x-2t (para a característica que chega em (x,t)), obtemos a expressão
u(x,t)=f(x-2t)+\int_{0}^{t} g\big(x-2t+2s\big)\,ds.

Passo 6

Simplificar a integral fazendo a mudança de variável para escrever a solução numa forma mais direta. Defina \xi=x-2t+2s. Então quando s=0 temos \xi=x-2t e quando s=t temos \xi=x. Além disso d\xi=2\,ds, ou seja ds=\dfrac{d\xi}{2}. Portanto
\int_{0}^{t} g\big(x-2t+2s\big)\,ds =\int_{x-2t}^{x} g(\xi)\,\frac{d\xi}{2} =\frac{1}{2}\int_{x-2t}^{x} g(\xi)\,d\xi.
Assim a solução ao final do cálculo (forma explícita) é obtida somando a parte de transporte da condição inicial com essa integral de fonte ao longo do segmento em x.

Passo 7

Checagem rápida (pra ficar seguro que a fórmula funciona): com a expressão obtida é fácil ver que em t=0 a integral some e u(x,0)=f(x), como exigido. Se quisermos verificar a PDE, podemos calcular \partial_t u e \partial_x u usando a regra de Leibniz para derivada de integral com limites dependentes e constatar que \partial_t u+2\partial_x u=g(x). Isso confirma que a solução encontrada satisfaz tanto a PDE quanto a condição inicial.

Resposta

\hat{u}(x,t)=f(x-2t)+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{x-2t}^{x} g(\xi)\,d\xi

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