Encontre as soluções fundamentais para o problema de Dirichlet no setor de ângulo \alpha, com potencial nulo se \alpha=0 ou \alpha=\pi / 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede, resumido passo a passo:
  • Domínio: um setor no plano polar com ângulo de abertura \alpha; ou seja, os pontos com coordenadas polares (r,\theta) tais que r>0 e 0<\theta<\alpha.
  • Equação exigida: busca-se soluções harmônicas (potencial que satisfaz a equação de Laplace) no setor, isto é, funções u(r,\theta) tal que
\Delta u = 0
no domínio do setor.
  • Condições de contorno (problema de Dirichlet): o potencial vale zero nas duas bordas do setor, ou seja
u(r,0)=0\quad\text{e}\quad u(r,\alpha)=0\quad\text{para todo }r>0.
  • Pedido: encontrar as “soluções fundamentais” — isto é, uma família/basis de soluções que satisfaçam a equação e as condições de contorno nas arestas \theta=0 e \theta=\alpha. Essas serão as funções que permitem escrever a solução geral (como série linear).
  • Observações do enunciado: menciona os casos \alpha=0 e \alpha=\pi/2; na resolução vou tratar o que ocorre nesses casos (caso degenerado \alpha=0 e simplificações quando \alpha=\pi/2).

Passo 2

Escrever a equação de Laplace em coordenadas polares e propor separação de variáveis
  • Em coordenadas polares, a equação de Laplace para u(r,\theta) é
\Delta u = u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
  • Vamos procurar soluções por separação de variáveis, isto é propor
u(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta),
onde R depende só de r e \Theta depende só de \theta. A ideia é transformar a PDE em duas ODEs acopladas por uma constante de separação.

Passo 3

Aplicar a separação e obter as equações ordinárias
  • Substituindo u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) na equação de Laplace e dividindo por R\Theta (assumindo R\Theta\neq0) obtemos
\frac{r^2 R''(r)+r R'(r)}{R(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = 0.
  • Como o primeiro termo depende só de r e o segundo só de \theta, cada um deve ser igual a uma constante -\lambda. Assim temos o sistema de ODEs
\Theta''(\theta) + \lambda \Theta(\theta) = 0
e
r^2 R''(r) + r R'(r) - \lambda R(r) = 0.
  • Aqui \lambda é a constante de separação. Nosso objetivo é encontrar valores de \lambda que permitam soluções \Theta(\theta) que satisfaçam as condições de contorno nas arestas do setor.

Passo 4

Resolver a equação angular e impor as condições de contorno
  • A equação angular é a equação harmônica simples
\Theta''(\theta) + \lambda \Theta(\theta)=0.
  • As condições são \Theta(0)=0 e \Theta(\alpha)=0 (porque u(r,0)=R(r)\Theta(0)=0 para todo r, e similar em \theta=\alpha). Procuramos soluções não-triviais \Theta\not\equiv0.
  • Casos para \lambda:
    • \lambda<0: escrevendo \lambda=-\mu^2 leva a soluções exponenciais \Theta(\theta)=A e^{\mu\theta}+B e^{-\mu\theta} que não satisfazem simultaneamente zeros nas duas extremidades sem serem triviais (salvo caso degenerado); portanto desprezamos aqui.
    • \lambda=0: dá \Theta(\theta)=A+B\theta. Impondo \Theta(0)=0 e \Theta(\alpha)=0 resulta em A=0 e B\alpha=0. Para \alpha\neq0 temos B=0 portanto apenas a solução trivial \Theta\equiv0. Logo \lambda=0 não gera modos não-triviais.
    • \lambda>0: escreva \lambda=\mu^2 com \mu>0. A solução geral é
    \Theta(\theta)=C\cos(\mu\theta)+D\sin(\mu\theta).Impor \Theta(0)=0 C=0. Impor \Theta(\alpha)=0 com C=0 exige D\sin(\mu\alpha)=0. Para uma solução não-trivial precisamos de \sin(\mu\alpha)=0, ou seja \mu\alpha = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dotsAssim os autovalores são \lambda_n = \mu^2 = \left(\frac{n\pi}{\alpha}\right)^2,\qquad n=1,2,\dotse as funções angulares correspondentes (escolhendo normalização) são \Theta_n(\theta) = \sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\,\theta\right).
  • Observação importante: a condição de Dirichlet nas arestas levou a usar senos, porque \sin zera em \theta=0 e em \theta=\alpha para os \mu escolhidos.

Passo 5

Resolver a equação radial correspondente aos autovalores
  • Para cada valor \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{\alpha}\right)^2 a equação radial é
r^2 R''(r) + r R'(r) - \left(\frac{n\pi}{\alpha}\right)^2 R(r) = 0.
  • Esta é uma equação de Euler (ou equação de Cauchy–Euler) cuja forma geral tem soluções em potências r^k. Substituindo R(r)=r^k temos
k(k-1) + k - \left(\frac{n\pi}{\alpha}\right)^2 = 0,
ou seja
k^2 - \left(\frac{n\pi}{\alpha}\right)^2 = 0.
  • As raízes são k=\pm \dfrac{n\pi}{\alpha}. Portanto a solução geral para R é
R_n(r)=A_n r^{\,n\pi/\alpha} + B_n r^{-\,n\pi/\alpha}.
  • Interpretação física/matemática das duas parcelas:
    • O termo r^{\,n\pi/\alpha} é regular em r=0 (fica finito) porque o expoente é positivo.
    • O termo r^{-\,n\pi/\alpha} diverge quando r\to0. Se exigirmos solução regular no vértice r=0 (frequente em problemas em setores que incluem o vértice), devemos tomar B_n=0.
    • Se estivermos interessados em soluções que decay para r\to\infty, podemos escolher o termo com expoente negativo (dependendo do sinal do expoente). Portanto a escolha entre os dois termos depende das condições de comportamento em r=0 e em r\to\infty.

Passo 6

Escrever as soluções fundamentais e a solução geral por série
  • Combinando as partes radial e angular para os modos admissíveis n=1,2,\dots, obtemos as soluções separadas (modos) do problema:
u_n(r,\theta) = r^{\,n\pi/\alpha}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\,\theta\right) \qquad (n=1,2,\dots),
ou, se permitirmos também o ramo singular,
\tilde u_n(r,\theta) = r^{-\,n\pi/\alpha}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\,\theta\right).
  • A solução geral que satisfaz \Delta u=0 e u(r,0)=u(r,\alpha)=0 é uma combinação linear (série) desses modos. Se exigirmos regularidade em r=0 e considerarmos o setor incluindo o vértice, a forma mais usada é
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\, r^{\,n\pi/\alpha}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\,\theta\right),
onde os coeficientes a_n são determinados a partir de condições adicionais (por exemplo, valor prescrito em uma curva r=R via expansão em série de Fourier em \theta).
  • Se, em vez disso, o domínio for a região exterior ao vértice e exigirmos decaimento em r\to\infty, usaríamos os termos com potência negativa:
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\, r^{-\,n\pi/\alpha}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\,\theta\right).

Passo 7

Tratar os casos especiais \alpha=0 e \alpha=\pi/2
  • Caso \alpha=0: o setor tem abertura zero, o domínio é degenerado (não há faixa angular). Nesse caso não há espaço para variação não-trivial em \theta e a única solução que satisfaz o problema de Dirichlet com contorno nulo é a solução trivial u\equiv0. Portanto, potencial nulo (só solução zero).
  • Caso \alpha=\pi/2: o fator \dfrac{n\pi}{\alpha} fica \dfrac{n\pi}{\pi/2}=2n. Então os modos regulares são
u_n(r,\theta) = r^{2n}\sin(2n\theta),\qquad n=1,2,\dots
Essas funções são harmônicas e correspondem a polinômios harmônicos em x,y (por exemplo, r^2\sin(2\theta)=2xy, r^4\sin(4\theta) é combinação de monômios de grau 4, etc.). Se o enunciado referiu que o potencial é nulo para \alpha=\pi/2, pode estar apontando que, dependendo das condições adicionais, a soma dos modos pode anular-se; mas matematicamente existem esses modos não-triviais para \alpha=\pi/2.

Passo 8

Comentário prático sobre uso em prova (como aplicar rapidamente)
  • Sempre comece escrevendo a equação de Laplace em polares e propondo u=R(r)\Theta(\theta).
  • A equação angular com condições de Dirichlet leva a senos e aos autovalores \lambda_n=(n\pi/\alpha)^2.
  • O radial é equação de Euler com soluções em potências r^{\pm n\pi/\alpha}. Escolha o sinal do expoente conforme necessidade (regularidade no vértice ou decaimento no infinito).
  • Em provas, é comum que peçam apenas os modos fundamentais; memorize a forma
r^{\,n\pi/\alpha}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\theta\right)
e saiba justificar rapidamente via separação de variáveis.

Resposta

As soluções fundamentais regulares no vértice são, para n=1,2,\dots:
u_n(r,\theta)=r^{\,\frac{n\pi}{\alpha}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\theta\right).
A solução geral regular é
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,r^{\,\frac{n\pi}{\alpha}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\theta\right).
Se permitirmos o ramo singular, existem também os modos
\tilde u_n(r,\theta)=r^{-\,\frac{n\pi}{\alpha}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\alpha}\theta\right).
Caso \alpha=0: domínio degenerado, única solução é u\equiv0.
Caso \alpha=\pi/2: os modos ficam u_n(r,\theta)=r^{2n}\sin(2n\theta) para n=1,2,\dots.

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