Encontre as soluções fundamentais para o problema de Dirichlet no setor de ângulo
, com potencial nulo se
ou
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede, resumido passo a passo:
- Domínio: um setor no plano polar com ângulo de abertura
; ou seja, os pontos com coordenadas polares tais que e . - Equação exigida: busca-se soluções harmônicas (potencial que satisfaz a equação de Laplace) no setor, isto é, funções
tal que
no domínio do setor.
- Condições de contorno (problema de Dirichlet): o potencial vale zero nas duas bordas do setor, ou seja
- Pedido: encontrar as “soluções fundamentais” — isto é, uma família/basis de soluções que satisfaçam a equação e as condições de contorno nas arestas
e . Essas serão as funções que permitem escrever a solução geral (como série linear). - Observações do enunciado: menciona os casos
e ; na resolução vou tratar o que ocorre nesses casos (caso degenerado e simplificações quando ).
Passo 2
Escrever a equação de Laplace em coordenadas polares e propor separação de variáveis
- Em coordenadas polares, a equação de Laplace para
é
- Vamos procurar soluções por separação de variáveis, isto é propor
onde
depende só de
e
depende só de
. A ideia é transformar a PDE em duas ODEs acopladas por uma constante de separação.
Passo 3
Aplicar a separação e obter as equações ordinárias
- Substituindo
na equação de Laplace e dividindo por (assumindo ) obtemos
- Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de , cada um deve ser igual a uma constante . Assim temos o sistema de ODEs
e
- Aqui
é a constante de separação. Nosso objetivo é encontrar valores de que permitam soluções que satisfaçam as condições de contorno nas arestas do setor.
Passo 4
Resolver a equação angular e impor as condições de contorno
- A equação angular é a equação harmônica simples
- As condições são
e (porque para todo , e similar em ). Procuramos soluções não-triviais . - Casos para
: -
: escrevendo leva a soluções exponenciais que não satisfazem simultaneamente zeros nas duas extremidades sem serem triviais (salvo caso degenerado); portanto desprezamos aqui. -
: dá . Impondo e resulta em e . Para temos portanto apenas a solução trivial . Logo não gera modos não-triviais. -
: escreva com . A solução geral é
Impor dá . Impor com exige . Para uma solução não-trivial precisamos de , ou seja Assim os autovalores são e as funções angulares correspondentes (escolhendo normalização) são -
- Observação importante: a condição de Dirichlet nas arestas levou a usar senos, porque
zera em e em para os escolhidos.
Passo 5
Resolver a equação radial correspondente aos autovalores
- Para cada valor
a equação radial é
- Esta é uma equação de Euler (ou equação de Cauchy–Euler) cuja forma geral tem soluções em potências
. Substituindo temos
ou seja
- As raízes são
. Portanto a solução geral para é
- Interpretação física/matemática das duas parcelas:
- O termo
é regular em (fica finito) porque o expoente é positivo. - O termo
diverge quando . Se exigirmos solução regular no vértice (frequente em problemas em setores que incluem o vértice), devemos tomar . - Se estivermos interessados em soluções que decay para
, podemos escolher o termo com expoente negativo (dependendo do sinal do expoente). Portanto a escolha entre os dois termos depende das condições de comportamento em e em .
- O termo
Passo 6
Escrever as soluções fundamentais e a solução geral por série
- Combinando as partes radial e angular para os modos admissíveis
, obtemos as soluções separadas (modos) do problema:
ou, se permitirmos também o ramo singular,
- A solução geral que satisfaz
e é uma combinação linear (série) desses modos. Se exigirmos regularidade em e considerarmos o setor incluindo o vértice, a forma mais usada é
onde os coeficientes
são determinados a partir de condições adicionais (por exemplo, valor prescrito em uma curva
via expansão em série de Fourier em
).
- Se, em vez disso, o domínio for a região exterior ao vértice e exigirmos decaimento em
, usaríamos os termos com potência negativa:
Passo 7
Tratar os casos especiais
e
- Caso
: o setor tem abertura zero, o domínio é degenerado (não há faixa angular). Nesse caso não há espaço para variação não-trivial em e a única solução que satisfaz o problema de Dirichlet com contorno nulo é a solução trivial . Portanto, potencial nulo (só solução zero). - Caso
: o fator fica . Então os modos regulares são
Essas funções são harmônicas e correspondem a polinômios harmônicos em
(por exemplo,
,
é combinação de monômios de grau 4, etc.). Se o enunciado referiu que o potencial é nulo para
, pode estar apontando que, dependendo das condições adicionais, a soma dos modos pode anular-se; mas matematicamente existem esses modos não-triviais para
.
Passo 8
Comentário prático sobre uso em prova (como aplicar rapidamente)
- Sempre comece escrevendo a equação de Laplace em polares e propondo
. - A equação angular com condições de Dirichlet leva a senos e aos autovalores
. - O radial é equação de Euler com soluções em potências
. Escolha o sinal do expoente conforme necessidade (regularidade no vértice ou decaimento no infinito). - Em provas, é comum que peçam apenas os modos fundamentais; memorize a forma
e saiba justificar rapidamente via separação de variáveis.
Resposta
As soluções fundamentais regulares no vértice são, para
:
A solução geral regular é
Se permitirmos o ramo singular, existem também os modos
Caso
: domínio degenerado, única solução é
.
Caso : os modos ficam
para
.
Caso