(a) Encontre uma função
tal que
e (b) utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva parámetra
com
.
O conteúdo aqui é reconhecer que é um campo conservativo e aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, ou seja, encontrar uma função potencial
tal que
e então usar
O conteúdo aqui é reconhecer que
Passo 2
Para achar
integramos a primeira componente de
em relação a
:
Em seguida impomos
logo
e
depende só de
. Por fim,
de onde
. Assim, podemos tomar
e escolhemos
para simplificar.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Aqui
, logo
e
.
Passo 4
Calculamos
e
Portanto
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)