(a) Encontre uma função f tal que F=nabla f e (b) utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y, z)=2 x y^3 z^4 i+3 x^2 y^2 z^4 j+4 x^2 y^3 z^3 k, C: x=t, y=t^2, z=t^3, 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=l(2xy^3z^4,,3x^2y^2z^4,,4x^2y^3z^3r)
e a curva parámetra Ccolon (x,y,z)=(t,t^2,t^3) com 0<= t<=2.
O conteúdo aqui é reconhecer que F é um campo conservativo e aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, ou seja, encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f e então usar
integralCFcdot dr=fl(r(2)r)-fl(r(0)r)

Passo 2

Para achar f integramos a primeira componente de F em relação a x:
partial fpartial x=2xy^3z^4 Longrightarrow f(x,y,z)=integral 2xy^3z^4,dx = x^2y^3z^4+g(y,z)
Em seguida impomos
partial fpartial y =3x^2y^2z^4+partial gpartial y stackrel!=3x^2y^2z^4,
logo partial g/partial y=0 e g depende só de z. Por fim,
partial fpartial z =4x^2y^3z^3+g'(z) stackrel!=4x^2y^3z^3,
de onde g'(z)=0. Assim, podemos tomar
f(x,y,z)=x^2y^3z^4+C,
e escolhemos C=0 para simplificar.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr =fl(r(2)r)-fl(r(0)r)
Aqui r(t)=(t,t^2,t^3), logo
r(2)=(2,4,8) e r(0)=(0,0,0).

Passo 4

Calculamos
fl(2,4,8r) =(2)^2(4)^3(8)^4 =4cdot64cdot4096 =1,048,576,
e
fl(0,0,0r)=0
Portanto
integralCFcdot dr =1,048,576-0 =1,048,576

Resposta

(a) f(x,y,z)=x^2y^3z^4+C.
(b) integralCFcdot dr=1,048,576.

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