(a) Encontre uma função
tal que
e (b) utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
;
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva paramétrica
,
.
Queremos (a) achar uma função escalar tal que
e (b) usar isso para calcular
.
Conteúdo: campos conservativos e teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
e a curva paramétrica
Queremos (a) achar uma função escalar
Conteúdo: campos conservativos e teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo, checando
Como
num domínio simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função só de
. Agora impomos
:
Podemos tomar
. Logo
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Passo 5
Calculamos os extremos:
,
.
Então
Então
de onde