(a) Encontre uma função f tal que F=nabla f e (b) utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=e^2 y i+(1+2 x e^2 y) j;
C: r(t)=t e^t i+(1+t) j, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=e^2y,i+l(1+2x,e^2yr),j
e a curva paramétrica
r(t)=t e^t,i+(1+t),j, 0<= t<=1.
Queremos (a) achar uma função escalar f tal que nabla f=F e (b) usar isso para calcular
integralCFcdot dr.
Conteúdo: campos conservativos e teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Verificamos se F=(P,Q) é conservativo, checando
partial Ppartial y =partialpartial ye^2y =2e^2y, partial Qpartial x =partialpartial xl(1+2x,e^2yr) =2e^2y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo, F é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos P=e^2y em relação a x:
f(x,y)=integral e^2y,dx = x,e^2y+h(y),
onde h é função só de y. Agora impomos partial f/partial y=Q:
partial fpartial y =2x,e^2y+h'(y) stackrel!=1+2x,e^2y implies h'(y)=1 implies h(y)=y+C
Podemos tomar C=0. Logo
f(x,y)=x,e^2y+y

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr =fl(r(1)r)-fl(r(0)r)

Passo 5

Calculamos os extremos:
r(1)=(e,2), r(0)=(0,1).
Então
f(e,2)=ecdot e^4+2=e^5+2, f(0,1)=0cdot e^2+1=1,
de onde
integralCFcdot dr =(e^5+2)-1 =e^5+1

Resposta

f(x,y)=x,e^2y+y, integralCFcdot dr=e^5+1

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