(a) Encontre uma função
tal que
e (b) utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar uma função potencial
tal que
onde
, e (b) usar essa função potencial para calcular a integral de linha
ao longo da curva parametrizada por
,
. O conteúdo aqui é campo conservativo e Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Verificamos que
é conservativo checando que seu rotacional é zero, isto é,
Como todas as igualdades batem,
é conservativo.
Passo 3
Para achar
integramos componente a componente. Primeiro,
Em seguida, exigimos
logo
Por fim, de
vem
. Portanto, podemos tomar a constante
e obter
Passo 4
Como
, o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha diz
Temos
e
. Então
Logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)