(a) Encontre uma função f tal que F=nabla f e (b) utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y, z)=4 x e^z i+cos y j+2 x^2 e^z k,
C: r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar uma função potencial f tal que
nabla f = F,
onde F(x,y,z) = l(4x e^z,;cos y,;2x^2 e^zr), e (b) usar essa função potencial para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
ao longo da curva parametrizada por r(t) = (t,,t^2,,t^4), 0<= t<=1. O conteúdo aqui é campo conservativo e Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Verificamos que F é conservativo checando que seu rotacional é zero, isto é,
partialpartial y(4x e^z)=0, partialpartial x(cos y)=0,
partialpartial z(4x e^z)=4x e^z, partialpartial x(2x^2 e^z)=4x e^z,
partialpartial z(cos y)=0, partialpartial y(2x^2 e^z)=0
Como todas as igualdades batem, F é conservativo.

Passo 3

Para achar f integramos componente a componente. Primeiro,
partial fpartial x=4x e^z Longrightarrow f(x,y,z)=integral4x e^z,dx=2x^2 e^z + g(y,z)
Em seguida, exigimos
partial fpartial y=partialpartial yl(2x^2 e^z + g(y,z)r) =partial gpartial y stackrel!=cos y,
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g(y,z)=integral cos y,dy=sin y + h(z)
Por fim, de
partial fpartial z =2x^2 e^z + h'(z)stackrel!=2x^2 e^z
vem h'(z)=0. Portanto, podemos tomar a constante h(z)=0 e obter
f(x,y,z)=2x^2 e^z + sin y

Passo 4

Como F=nabla f, o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha diz
integralCFcdot dr = fl(r(1)r)-fl(r(0)r)
Temos r(0)=(0,0,0) e r(1)=(1,1,1). Então
fl(0,0,0r)=2cdot0^2 e^0+sin0=0,
fl(1,1,1r)=2cdot1^2 e^1+sin1=2e+sin1
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integralCFcdot dr=(2e+sin1)-0=2e+sin1

Resposta

(a) f(x,y,z)=2x^2 e^z+sin y.
(b) integralCFcdot dr=2e+sin1.

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