Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (e^(2x) + x sen(y)) i + x^2 cos(y) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que . Isso significa que:
Além disso, em domínios simplesmente conexos, isso acontece se as derivadas parciais cruzadas satisfazem:

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas.

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Como (pois ), concluímos que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F não é conservativo.

Exercícios relacionados