Encontre uma função f tal que f^{\prime}(x)+\operatorname{sen} x=0 e f(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma função f tal que
f'(x)+\sin x=0
com a condição inicial f(0)=2.
Isso é uma EDO de primeira ordem, e vamos resolver isolando f' e integrando.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
f'(x)=-\sin x.
Basta agora integrar em ambos os lados com respeito a x.

Passo 3

Integramos
\int f'(x)\,dx = \int -\sin x\,dx.
No lado esquerdo fica f(x) e, no direito, a antiderivada de -\sin x é \cos x. Logo
f(x)=\cos x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial f(0)=2:
f(0)=\cos 0 + C = 1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto a solução é determinada.

Resposta

f(x)=\cos x + 1

Exercícios relacionados