Encontre a função f(x)=A_{1} \operatorname{sen}(x)+B_{1} \cos (x)+A_{2} \operatorname{sen}(2 x)+B_{2} \cos (2 x) tais que f(1)=0, f(2)=2, f(3)=4 e f(4)=8.
de modo que os quatro valores abaixo sejam satisfeitos:
f(1)=0,\qquad f(2)=2,\qquad f(3)=4,\qquad f(4)=8.
Informações fornecidas (cada uma vira uma equação linear nas incógnitas A_{1},B_{1},A_{2},B_{2}):
Para x=1: \;A_{1}\operatorname{sen}(1)+B_{1}\cos(1)+A_{2}\operatorname{sen}(2)+B_{2}\cos(2)=0.
Para x=2: \;A_{1}\operatorname{sen}(2)+B_{1}\cos(2)+A_{2}\operatorname{sen}(4)+B_{2}\cos(4)=2.
Para x=3: \;A_{1}\operatorname{sen}(3)+B_{1}\cos(3)+A_{2}\operatorname{sen}(6)+B_{2}\cos(6)=4.
Para x=4: \;A_{1}\operatorname{sen}(4)+B_{1}\cos(4)+A_{2}\operatorname{sen}(8)+B_{2}\cos(8)=8.
Passo 2
Transformar as quatro condições em um sistema linear do tipo M\vec{c}=\vec{y}, onde \vec{c}=(A_{1},B_{1},A_{2},B_{2})^{T}.
Vou usar os valores numéricos de \operatorname{sen} e \cos (em radianos) nas abscissas 1,2,3,4,6,8. Os valores usados (aproximações decimais) são:
Explicação rápida do método que vou usar: como temos 4 equações lineares em 4 incógnitas, uso eliminação de Gauss (combinações lineares entre equações) para triangular a matriz e depois substituição regressiva. A eliminação consiste em, passo a passo, zerar entradas abaixo do pivô usando combinações entre linhas. Vou mostrar as combinações relevantes e os resultados numéricos intermediários (mantendo várias casas decimais para precisão).
Começo usando a primeira linha como pivô (pivotando na coluna de A_{1}). As combinações efetuadas foram (mostro o efeito final em cada linha para economizar espaço):
Subtraiu-se \dfrac{\operatorname{sen}(2)}{\operatorname{sen}(1)} vezes a linha 1 da linha 2, obtendo a nova linha 2:
Verificação rápida (checagem): substituindo as quatro constantes aproximadas em f(1),f(2),f(3),f(4) obtém-se, com arredondamento numérico, valores muito próximos de 0,2,4,8 respectivamente (os pequenos erros vêm apenas das aproximações decimais usadas durante a eliminação). Portanto as soluções obtidas são consistentes.