Encontre a função f(x)=A_{1} \operatorname{sen}(x)+B_{1} \cos (x)+A_{2} \operatorname{sen}(2 x)+B_{2} \cos (2 x) tais que f(1)=0, f(2)=2, f(3)=4 e f(4)=8.
A_{1}=\square, B_{1}=\square, A_{2}=\square, B_{2}=\square

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a função
f(x)=A_{1}\operatorname{sen}(x)+B_{1}\cos(x)+A_{2}\operatorname{sen}(2x)+B_{2}\cos(2x)
de modo que os quatro valores abaixo sejam satisfeitos:
f(1)=0,\qquad f(2)=2,\qquad f(3)=4,\qquad f(4)=8.
Informações fornecidas (cada uma vira uma equação linear nas incógnitas A_{1},B_{1},A_{2},B_{2}):
  • Para x=1: \;A_{1}\operatorname{sen}(1)+B_{1}\cos(1)+A_{2}\operatorname{sen}(2)+B_{2}\cos(2)=0.
  • Para x=2: \;A_{1}\operatorname{sen}(2)+B_{1}\cos(2)+A_{2}\operatorname{sen}(4)+B_{2}\cos(4)=2.
  • Para x=3: \;A_{1}\operatorname{sen}(3)+B_{1}\cos(3)+A_{2}\operatorname{sen}(6)+B_{2}\cos(6)=4.
  • Para x=4: \;A_{1}\operatorname{sen}(4)+B_{1}\cos(4)+A_{2}\operatorname{sen}(8)+B_{2}\cos(8)=8.

Passo 2

Transformar as quatro condições em um sistema linear do tipo M\vec{c}=\vec{y}, onde \vec{c}=(A_{1},B_{1},A_{2},B_{2})^{T}.
Vou usar os valores numéricos de \operatorname{sen} e \cos (em radianos) nas abscissas 1,2,3,4,6,8. Os valores usados (aproximações decimais) são:
\begin{aligned} \operatorname{sen}(1)&\approx0{,}8414709848,\quad &\cos(1)&\approx0{,}5403023059,\\\ \operatorname{sen}(2)&\approx0{,}9092974268,\quad &\cos(2)&\approx-0{,}4161468365,\\\ \operatorname{sen}(3)&\approx0{,}1411200081,\quad &\cos(3)&\approx-0{,}9899924966,\\\ \operatorname{sen}(4)&\approx-0{,}7568024953,\quad &\cos(4)&\approx-0{,}6536436209,\\\ \operatorname{sen}(6)&\approx-0{,}2794154982,\quad &\cos(6)&\approx0{,}9601702867,\\\ \operatorname{sen}(8)&\approx0{,}9893582466,\quad &\cos(8)&\approx-0{,}1455000338. \end{aligned}
Com isso o sistema numérico é:
\begin{pmatrix} 0{,}8414709848 & 0{,}5403023059 & 0{,}9092974268 & -0{,}4161468365\\[4pt] 0{,}9092974268 & -0{,}4161468365 & -0{,}7568024953 & -0{,}6536436209\\[4pt] 0{,}1411200081 & -0{,}9899924966 & -0{,}2794154982 & 0{,}9601702867\\[4pt] -0{,}7568024953 & -0{,}6536436209 & 0{,}9893582466 & -0{,}1455000338 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_{1}\\[2pt]B_{1}\\[2pt]A_{2}\\[2pt]B_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]4\\[2pt]8\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicação rápida do método que vou usar: como temos 4 equações lineares em 4 incógnitas, uso eliminação de Gauss (combinações lineares entre equações) para triangular a matriz e depois substituição regressiva. A eliminação consiste em, passo a passo, zerar entradas abaixo do pivô usando combinações entre linhas. Vou mostrar as combinações relevantes e os resultados numéricos intermediários (mantendo várias casas decimais para precisão).
Começo usando a primeira linha como pivô (pivotando na coluna de A_{1}). As combinações efetuadas foram (mostro o efeito final em cada linha para economizar espaço):
  • Subtraiu-se \dfrac{\operatorname{sen}(2)}{\operatorname{sen}(1)} vezes a linha 1 da linha 2, obtendo a nova linha 2:
\text{linha 2 nova}\approx\bigl[0,\,-1{,}00000000,\,-1{,}7393936453,\,-0{,}2041836209\mid 2\bigr].
(Repare que apareceu exatamente -1 na segunda posição — isso facilita muito a continuação.)
  • Subtraiu-se \dfrac{\operatorname{sen}(3)}{\operatorname{sen}(1)} vezes a linha 1 da linha 3, obtendo a nova linha 3:
\text{linha 3 nova}\approx\bigl[0,\,-1{,}0804125000,\,-0{,}4316050000,\;1{,}0298200000\mid 4\bigr].
  • Subtraiu-se \dfrac{\operatorname{sen}(4)}{\operatorname{sen}(1)} vezes a linha 1 da linha 4, obtendo a nova linha 4:
\text{linha 4 nova}\approx\bigl[0,\,-0{,}1677436000,\;1{,}8067580000,\,-0{,}5199000000\mid 8\bigr].

Passo 4

Agora uso a nova linha 2 como pivô na coluna de B_{1}. Dividindo a linha 2 por -1 (normalizando o pivô) obtemos
\text{linha 2 normalizada}\approx\bigl[0,\;1,\;1{,}7393936453,\;0{,}2041836209\mid -2\bigr].
Em seguida zerei as entradas abaixo na coluna de B_{1} somando multiplicadores adequados da linha 2 às linhas 3 e 4; os resultados foram:
\text{linha 3 nova}\approx\bigl[0,\;0,\;1{,}4476571370,\;1{,}2503376000\mid 1{,}8391750000\bigr],
\text{linha 4 nova}\approx\bigl[0,\;0,\;2{,}0985270000,\;-0{,}4856580000\mid 7{,}6645128000\bigr].
Agora reduzimos o problema a um sistema 2\times2 nas incógnitas A_{2} e B_{2}:
\begin{cases} 1{,}4476571370\,A_{2}+1{,}2503376000\,B_{2}=1{,}8391750000,\\[4pt] 2{,}0985270000\,A_{2}-0{,}4856580000\,B_{2}=7{,}6645128000. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o 2\times2 por fórmula (determinantes). O determinante do sistema é
\Delta=1{,}4476571370\cdot(-0{,}4856580000)-1{,}2503376000\cdot2{,}0985270000\approx-3{,}3269147000.
O numerador para A_{2} (regra de Cramer) é
\Delta_{A_{2}}=1{,}8391750000\cdot(-0{,}4856580000)-1{,}2503376000\cdot7{,}6645128000\approx-10{,}4762207000.
Logo
A_{2}=\dfrac{\Delta_{A_{2}}}{\Delta}\approx\dfrac{-10{,}4762207000}{-3{,}3269147000}\approx3{,}1479687\ldots
Em seguida B_{2} por Cramer ou substituindo em uma das equações; usando a primeira:
B_{2}=\dfrac{1{,}8391750000-1{,}4476571370\cdot A_{2}}{1{,}2503376000} \approx-2{,}1739818\ldots

Passo 6

Agora volto para as equações superiores para obter B_{1} e A_{1}.
Da linha 2 normalizada:
B_{1}+1{,}7393936453\,A_{2}+0{,}2041836209\,B_{2}=-2.
Substituindo A_{2} e B_{2} obtém-se
B_{1}\approx-2-1{,}7393936453\cdot 3{,}1479687-0{,}2041836209\cdot(-2{,}1739818) \approx-7{,}0316839\ldots
Finalmente, da primeira equação (ou linha 1 original) resolvo para A_{1}:
A_{1}=-\dfrac{B_{1}\cos(1)+A_{2}\operatorname{sen}(2)+B_{2}\cos(2)}{\operatorname{sen}(1)}.
Substituindo números:
A_{1}\approx -\dfrac{(-7{,}0316839)\cdot0{,}5403023059+3{,}1479687\cdot0{,}9092974268+(-2{,}1739818)\cdot(-0{,}4161468365)}{0{,}8414709848} \approx0{,}0384410\ldots

Passo 7

Verificação rápida (checagem): substituindo as quatro constantes aproximadas em f(1),f(2),f(3),f(4) obtém-se, com arredondamento numérico, valores muito próximos de 0,2,4,8 respectivamente (os pequenos erros vêm apenas das aproximações decimais usadas durante a eliminação). Portanto as soluções obtidas são consistentes.

Resposta

A_{1}\approx0{,}0384410
B_{1}\approx-7{,}0316839
A_{2}\approx3{,}1479687
B_{2}\approx-2{,}1739818