1. Analise a convergência das seguintes séries:
    a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} [Converge, por comparação]
    b) \sum_{n=1}^{\infty} \sin (1 / n) [Diverge por comparação com o limite, tome b_{n}=1 / n ]
    c) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n} [Converge, use o teste da raiz]
    d) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \left(\frac{\pi}{n}\right) [Converge pele teste da série alternada, note que \sin x>0 para 0< \left.x<\frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

Temos quatro séries e precisamos determinar se cada uma converge ou diverge. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
  • (a) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}. Pergunta: a série converge ou diverge?
  • (b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right). Pergunta: a série converge ou diverge?
  • (c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}. Pergunta: a série converge ou diverge?
  • (d) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right). Pergunta: a série converge ou diverge (e se converge, se é absoluta ou condicional)?
Informações relevantes retiradas do enunciado: os termos das séries estão explícitos como funções de n — não há figuras ou tabelas faltando. Agora vou resolver item por item, explicando passo a passo os testes que uso.

Passo 2

(a) Resolver e ensinar: comparação simples com uma série p-aditiva.
  • Ideia do teste por comparação (mini-aula): se temos duas sequências de termos positivos 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Um exemplo muito usado é a série p-série \sum \frac{1}{n^p}: ela converge quando p>1 e diverge quando p\le1.
  • Aplicação ao problema: para todo n\ge1 temos \frac{1}{n}\le1, logo \frac{1}{n}\le1\Rightarrow e^{\frac{1}{n}}\le e^{1}=e. Assim cada termo da série positiva satisfaz 0\le \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} \le \frac{e}{n^{2}}.
  • Como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e}{n^{2}} = e\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (é a p-série com p=2>1), então por comparação \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} converge.
  • Observação extra: como os termos são positivos, essa é convergência absoluta (não faz sentido ‘‘condicional’’ no caso de termos já positivos).

Passo 3

(b) Resolver e ensinar: comparação limite com a série harmônica usando o limite \sin x / x \to 1.
  • Mini-aula sobre comparação de limite: se a_n>0 e b_n>0 e \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem). Esse é o teste da comparação por limite (limit comparison test).
  • Aplicação: tome a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) e b_n=\frac{1}{n}. Calculamos \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,onde fiz a substituição x=\frac{1}{n} e usei o clássico limite \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
  • Como o limite é L=1\in(0,\infty) e sabemos que \sum \frac{1}{n} (a série harmônica) diverge, segue que \sum \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) também diverge.
  • Observação: embora os termos \sin(1/n)\to0, isso não garante convergência da série — é necessário que o somatório também se comporte bem; aqui o comportamento é semelhante ao de 1/n, que diverge.

Passo 4

(c) Resolver e ensinar: uso do teste da raiz (Cauchy) — é natural porque a expressão tem uma potência ^{\,n}.
  • Mini-aula sobre o teste da raiz: para a_n\in\mathbb{R}, defina \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. Se \rho<1 a série \sum a_n converge absolutamente; se \rho>1 diverge; se \rho=1 o teste é inconclusivo.
  • Aplicação: aqui a_n=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}. Calculamos a n-ésima raiz: \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}.Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}} =\frac{1}{2}.
  • Como esse limite é \rho=\tfrac{1}{2}<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 5

(d) Resolver e ensinar: teste da série alternada (Leibniz) e observar se a convergência é condicional ou absoluta.
  • Definição / mini-aula do teste de Leibniz (série alternada): se uma sequência b_n satisfaz (i) b_n\ge0 para todo n, (ii) b_n é monótona decrescente para n grande, e (iii) \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge. Essa convergência pode ser condicional (se \sum b_n diverge) ou absoluta (se \sum b_n converge).
  • Aqui escolhemos b_n=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{n}\right). Verificações:
    • Positividade: para n\ge2 temos \frac{\pi}{n}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right] e, nesse intervalo, \sin x>0. O termo n=1 \sin(\pi)=0, que não atrapalha a série. Portanto b_n\ge0 para todo n.
    • Monotonicidade: para n\ge2 a sequência \frac{\pi}{n} é decrescente em n; como a função \sin x é crescente em \left[0,\frac{\pi}{2}\right], segue que b_n=\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) é decrescente para n\ge2.
    • Limite: \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)=\sin 0=0.
  • Assim todas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas e a série \sum(-1)^{n}\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) converge.
  • Determinar se é convergência absoluta ou condicional: considere a série dos valores absolutos \sum |\sin(\pi/n)|=\sum \sin(\pi/n). Como \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=1, a série \sum \sin(\pi/n) tem o mesmo comportamento da série \sum \frac{1}{n}, que diverge. Logo a série não converge absolutamente; a convergência é condicional.

Resposta

(a) Converge (convergência absoluta).
(b) Diverge.
(c) Converge (convergência absoluta).
(d) Converge (convergência condicional).

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