- Analise a convergência das seguintes séries:
a)
[Converge, por comparação]
b)
[Diverge por comparação com o limite, tome
]
c)
[Converge, use o teste da raiz]
d)
[Converge pele teste da série alternada, note que
para
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Temos quatro séries e precisamos determinar se cada uma converge ou diverge. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
- (a)
. Pergunta: a série converge ou diverge? - (b)
. Pergunta: a série converge ou diverge? - (c)
. Pergunta: a série converge ou diverge? - (d)
. Pergunta: a série converge ou diverge (e se converge, se é absoluta ou condicional)?
Informações relevantes retiradas do enunciado: os termos das séries estão explícitos como funções de
— não há figuras ou tabelas faltando. Agora vou resolver item por item, explicando passo a passo os testes que uso.
Passo 2
(a) Resolver e ensinar: comparação simples com uma série
-aditiva.
- Ideia do teste por comparação (mini-aula): se temos duas sequências de termos positivos
para todo suficientemente grande e se converge, então também converge. Um exemplo muito usado é a série -série : ela converge quando e diverge quando . - Aplicação ao problema: para todo
temos , logo . Assim cada termo da série positiva satisfaz - Como
e sabemos que é convergente (é a -série com ), então por comparação converge. - Observação extra: como os termos são positivos, essa é convergência absoluta (não faz sentido ‘‘condicional’’ no caso de termos já positivos).
Passo 3
(b) Resolver e ensinar: comparação limite com a série harmônica usando o limite
.
- Mini-aula sobre comparação de limite: se
e e com , então e têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem). Esse é o teste da comparação por limite (limit comparison test). - Aplicação: tome
e . Calculamos onde fiz a substituição e usei o clássico limite . - Como o limite é
e sabemos que (a série harmônica) diverge, segue que também diverge. - Observação: embora os termos
, isso não garante convergência da série — é necessário que o somatório também se comporte bem; aqui o comportamento é semelhante ao de , que diverge.
Passo 4
(c) Resolver e ensinar: uso do teste da raiz (Cauchy) — é natural porque a expressão tem uma potência
.
- Mini-aula sobre o teste da raiz: para
, defina . Se a série converge absolutamente; se diverge; se o teste é inconclusivo. - Aplicação: aqui
. Calculamos a -ésima raiz: Agora tomamos o limite quando . Dividindo numerador e denominador por obtemos - Como esse limite é
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente (e portanto converge).
Passo 5
(d) Resolver e ensinar: teste da série alternada (Leibniz) e observar se a convergência é condicional ou absoluta.
- Definição / mini-aula do teste de Leibniz (série alternada): se uma sequência
satisfaz (i) para todo , (ii) é monótona decrescente para grande, e (iii) , então a série alternada converge. Essa convergência pode ser condicional (se diverge) ou absoluta (se converge). - Aqui escolhemos
. Verificações: - Positividade: para
temos e, nesse intervalo, . O termo dá , que não atrapalha a série. Portanto para todo . - Monotonicidade: para
a sequência é decrescente em ; como a função é crescente em , segue que é decrescente para . - Limite:
.
- Positividade: para
- Assim todas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas e a série
converge. - Determinar se é convergência absoluta ou condicional: considere a série dos valores absolutos
. Como , a série tem o mesmo comportamento da série , que diverge. Logo a série não converge absolutamente; a convergência é condicional.
Resposta
(a) Converge (convergência absoluta).
(b) Diverge.
(c) Converge (convergência absoluta).
(d) Converge (convergência condicional).
(b) Diverge.
(c) Converge (convergência absoluta).
(d) Converge (convergência condicional).