Calcule a correspondente função de transferência da seguinte descrição de estado
A=[ccc -4 & 0 & 1 1 & -3 & 0 1 & 1 & -5 ] ; b=[l 1 0 1 ] ; c=[ccc 1 & 1 & 0 ] ; d=[0]
NOTA: observe a função [num,den]=ss2tf(A,b,c,d,iu).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função de transferência a partir de uma representação de estado, usando as matrizes , , e fornecidas. Isso faz parte da matéria de sistemas de controle, especificamente na conversão de espaços de estado para função de transferência. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrices e determinantes, além da fórmula que relaciona a representação de estado com a função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para encontrar a função de transferência a partir da representação de estado:
H(s) = c cdot (sI - A)^-1 cdot b + d
Aqui, é a variável complexa da transformação de Laplace, é a matriz identidade, e é a inversa da matriz .

Passo 3

Vamos começar calculando I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade sI = s & 0 & 0 0 & s & 0 0 & 0 & s de ordem 3 é:
sI - A = s - (-4) & 0 - 0 & 0 - 1 0 - 1 & s - (-3) & 0 - 0 0 - 1 & 0 - 1 & s - (-5) = s + 4 & 0 & -1 -1 & s + 3 & 0 -1 & -1 & s + 5
Multiplicando por :
Subtraindo a matriz :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inversa de det(sI - A) = (s + 4)[(s + 3)(s + 5) - (0)(-1)] - 0 + (-1)[(-1)(-1) - (s + 3)(-1)] . Para isso, vamos calcular o determinante de det(sI - A) = (s + 4)(s^2 + 8s + 15) - 0 + (-1)(1 + s + 3) = (s + 4)(s^2 + 8s + 15) - (s + 4) e a matriz adjunta.
Primeiro, calculamos o determinante det(sI - A) = s^3 + 8s^2 + 15s + 4s^2 + 32s + 60 - s - 4 = s^3 + 12s^2 + 46s + 56 :
Simplificando:
Multiplicando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de adj(sI - A) = (s + 3)(s + 5) - (0)(-1) & -[(-1)(s + 5) - (0)(-1)] & [(-1)(-1) - (s + 3)(-1)] -[0 cdot (s + 5) - (-1) cdot (-1)] & (s + 4)(s + 5) - (-1)(-1) & -[(s + 4)(-1) - (-1)(-1)] 0 cdot (-1) - (s + 3)(-1) & -[(s + 4)(-1) - (-1)(0)] & (s + 4)(s + 3) - (-1)(-1) . A adjunta adj(sI - A) = (s + 3)(s + 5) & (s + 5) & (1 + s + 3) -( -1) & (s + 4)(s + 5) - 1 & -[(s + 4)(-1) - 1] (s + 3) & (s + 4) & (s + 4)(s + 3) - 1 = s^2 + 8s + 15 & s + 5 & s + 4 1 & s^2 + 9s + 19 & s + 5 s + 3 & s + 4 & s^2 + 7s + 11 é a transposta da matriz dos cofatores.
Calculando os cofatores, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, a inversa de (sI - A)^-1 = 1det(sI - A) cdot adj(sI - A) é dada por:
(sI - A)^-1 = 1s^3 + 12s^2 + 46s + 56 cdot s^2 + 8s + 15 & s + 5 & s + 4 1 & s^2 + 9s + 19 & s + 5 s + 3 & s + 4 & s^2 + 7s + 11
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar 1 0 1 pela inversa de c cdot (sI - A)^-1 = 1s^3 + 12s^2 + 46s + 56 cdot [1 1 0] cdot s^2 + 8s + 15 & s + 5 & s + 4 1 & s^2 + 9s + 19 & s + 5 s + 3 & s + 4 & s^2 + 7s + 11 = 1s^3 + 12s^2 + 46s + 56 cdot [s^2 + 8s + 15 + 1 s + 5 + s^2 + 9s + 19 s + 4 + s + 5] e depois por c cdot (sI - A)^-1 = 1s^3 + 12s^2 + 46s + 56 cdot [s^2 + 8s + 16 s^2 + 10s + 24 2s + 9] . A matriz c cdot (sI - A)^-1 cdot b = 1s^3 + 12s^2 + 46s + 56 cdot [s^2 + 8s + 16] cdot 1 + [s^2 + 10s + 24] cdot 0 + [2s + 9] cdot 1 = s^2 + 8s + 16 + 2s + 9s^3 + 12s^2 + 46s + 56 é s^2 + 10s + 25 e é .
Primeiro, multiplicamos pela inversa de :
Simplificando:
Agora, multiplicamos pelo vetor :
Simplificando o numerador:

Passo 8

Finalmente, somamos o termo H(s) = s^2 + 10s + 25s^3 + 12s^2 + 46s + 56 + 0 = s^2 + 10s + 25s^3 + 12s^2 + 46s + 56 , que é 0, então não altera o resultado:

Resposta

A função de transferência correspondente é:
numden = [ s^2 + 10s + 25 ] g/ [ s^3 + 12s^2 + 46s + 56 ]
Ou, em forma de vetores:
num = [1 10 25] den = [1 12 46 56]

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