Encontre a função de transferência dos seguintes sistemas:
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
O que o problema pede:
- Encontrar a função de transferência, ou seja
, onde e são as transformadas de Laplace de e respectivamente.
Informações relevantes listadas: - A equação diferencial relaciona
(saída) e (entrada). - Para obter a função de transferência devemos trabalhar com as transformadas de Laplace assumindo condições iniciais nulas (isso é padrão: a função de transferência descreve a resposta em regime zero-estado).
Passo 2
Revisão didática: transformada de Laplace das derivadas (fórmula geral) e por que assumir condições iniciais nulas.
A transformada de Laplace da -ésima derivada de uma função
é
A transformada de Laplace da
onde
,
é a variável complexa de Laplace, e
são as condições iniciais no tempo
.
Por que zerar as condições iniciais? Porque a função de transferência relaciona a entrada e a saída no caso zero-estado (resposta devido apenas à entrada, sem contribuir das condições iniciais). Assim todos os termos envolvendo
serão colocados como zero.
Por que zerar as condições iniciais? Porque a função de transferência
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação, lembrando de zerar as condições iniciais.
Para o lado esquerdo:
Para o lado esquerdo:
Usando a fórmula para a primeira derivada e
:
logo
Passo 4
Transformada do lado direito, termo a termo, com condições iniciais nulas:
Usando a fórmula para derivadas e
:
Portanto
Passo 5
Agora escrevemos a equação no domínio de Laplace (com ICs nulas) e isolamos a razão
:
Dividindo ambos os lados por
e por
obtemos a função de transferência:
Passo 6
Interpretação curta e útil para prova:
-
é uma razão de polinômios em . - Os zeros de
são as raízes do numerador , que são . - O pólo de
é a raiz do denominador , isto é . - Saber identificar polos e zeros ajuda a discutir estabilidade e resposta do sistema na prova.