Encontre a função de transferência dos seguintes sistemas:
4 y^{\prime}(t)-3 y(t)=x^{\prime \prime}(t)+2 x^{\prime}(t)-5 x(t)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
4\,y'(t)-3\,y(t)=x''(t)+2\,x'(t)-5\,x(t).
O que o problema pede:
  • Encontrar a função de transferência, ou seja G(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}, onde Y(s) e X(s) são as transformadas de Laplace de y(t) e x(t) respectivamente.
    Informações relevantes listadas:
  • A equação diferencial relaciona y(t) (saída) e x(t) (entrada).
  • Para obter a função de transferência devemos trabalhar com as transformadas de Laplace assumindo condições iniciais nulas (isso é padrão: a função de transferência descreve a resposta em regime zero-estado).

Passo 2

Revisão didática: transformada de Laplace das derivadas (fórmula geral) e por que assumir condições iniciais nulas.
A transformada de Laplace da n-ésima derivada de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, s é a variável complexa de Laplace, e f(0),f'(0),\dots são as condições iniciais no tempo t=0.
Por que zerar as condições iniciais? Porque a função de transferência G(s) relaciona a entrada e a saída no caso zero-estado (resposta devido apenas à entrada, sem contribuir das condições iniciais). Assim todos os termos envolvendo f(0),f'(0),\dots serão colocados como zero.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação, lembrando de zerar as condições iniciais.
Para o lado esquerdo:
\mathcal{L}\{4y'(t)-3y(t)\}=4\mathcal{L}\{y'(t)\}-3\mathcal{L}\{y(t)\}.
Usando a fórmula para a primeira derivada e y(0)=0:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
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4\mathcal{L}\{y'(t)\}-3\mathcal{L}\{y(t)\}=4(sY(s))-3Y(s)=(4s-3)Y(s).

Passo 4

Transformada do lado direito, termo a termo, com condições iniciais nulas:
\mathcal{L}\{x''(t)+2x'(t)-5x(t)\}=\mathcal{L}\{x''(t)\}+2\mathcal{L}\{x'(t)\}-5\mathcal{L}\{x(t)\}.
Usando a fórmula para derivadas e x(0)=x'(0)=0:
\mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s), \qquad \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s), \qquad \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s).
Portanto
\mathcal{L}\{\text{lado direito}\}=(s^{2}+2s-5)X(s).

Passo 5

Agora escrevemos a equação no domínio de Laplace (com ICs nulas) e isolamos a razão Y(s)/X(s):
(4s-3)Y(s)=(s^{2}+2s-5)X(s).
Dividindo ambos os lados por X(s) e por (4s-3) obtemos a função de transferência:
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^{2}+2s-5}{4s-3}.

Passo 6

Interpretação curta e útil para prova:
  • G(s)=\dfrac{s^{2}+2s-5}{4s-3} é uma razão de polinômios em s.
  • Os zeros de G(s) são as raízes do numerador \,s^{2}+2s-5=0, que são \,s=-1\pm\sqrt{6}.
  • O pólo de G(s) é a raiz do denominador \,4s-3=0, isto é \,s=\tfrac{3}{4}.
  • Saber identificar polos e zeros ajuda a discutir estabilidade e resposta do sistema na prova.

Resposta

G(s)=\dfrac{s^{2}+2s-5}{4s-3}

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