Faça os gráficos das seguintes funções:
\mathrm{g}(\mathrm{t})=\operatorname{ret}(\mathrm{t} / 2)^{*}(\delta(\mathrm{t}+2)-\delta(\mathrm{t}+1))

Passo 1

O enunciado pede: “Faça os gráficos da função”
g(t)=\operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right)^{*}\big(\delta(t+2)-\delta(t+1)\big).
Informações fornecidas e convenções que vou usar (tudo que o enunciado dá ou admite implicitamente):
  • A função que aparece em convolução é \operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right) (retângulo) e a outra é a combinação de deltas \delta(t+2)-\delta(t+1).
  • Vou assumir a definição padrão da função retângulo \operatorname{ret}(x): ela vale 1 para |x|<\tfrac{1}{2} e 0 fora disso (valores em fronteira podem ser tratados como convenção, não afetam o gráfico essencial). Assim, conforme essa definição,
\operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right)=1\quad\text{quando}\quad |t|<1,
ou seja, a função \operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right) tem suporte essencial (-1,1) e altura 1.
  • A tarefa é desenhar (descrever) o gráfico de g(t). Não há outra informação ambígua no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar e explicar uma propriedade fundamental da convolução com deltas (isso é a ferramenta que resolve a questão rapidamente):
  • Definição de convolução (forma que vamos usar): se f e h são funções, então
(f*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
  • Propriedade de deslocamento com delta: para qualquer função f suficientemente bem comportada e qualquer constante a,
f * \delta(t-a)=f(t-a).
Explicação curta e didática: substitua h(\cdot)=\delta(\cdot-a) na integral:
(f*\delta(\cdot-a))(t)=\int f(\tau)\,\delta(t-\tau-a)\,d\tau.
O delta “suga” o valor em \tau tal que t-\tau-a=0, isto é \tau=t-a; então o resultado é f(t-a). Ou seja, convoluir com um delta deslocado simplesmente desloca f.

Passo 3

Aplique a propriedade ao nosso problema passo a passo:
  • Escrevemos a convolução linearmente:
g(t)=\operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right) * \big(\delta(t+2)-\delta(t+1)\big) = \operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right)*\delta(t+2) \;-\; \operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right)*\delta(t+1).
  • Agora uso a propriedade f*\delta(t-a)=f(t-a). Note que \delta(t+2)=\delta(t-(-2)), então convoluir com \delta(t+2) desloca f por -2 no argumento (ou seja, produz f(t+2)). Assim:
\operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right)*\delta(t+2)=\operatorname{ret}\!\left(\frac{t+2}{2}\right),
\operatorname{ret}\!\left(\frac{t}{2}\right)*\delta(t+1)=\operatorname{ret}\!\left(\frac{t+1}{2}\right).
  • Portanto obtemos a forma direta:
g(t)=\operatorname{ret}\!\left(\frac{t+2}{2}\right)-\operatorname{ret}\!\left(\frac{t+1}{2}\right).

Passo 4

Agora interpreto cada termo como um retângulo em t (aqui mostro como achar os intervalos onde cada retângulo vale 1):
  • Para o primeiro termo \operatorname{ret}\!\left(\frac{t+2}{2}\right): pela definição de \operatorname{ret},
\operatorname{ret}\!\left(\frac{t+2}{2}\right)=1 \quad\text{quando}\quad \left|\frac{t+2}{2}\right|<\tfrac{1}{2}.
Resolvendo a desigualdade:
\left|\frac{t+2}{2}\right|<\tfrac{1}{2} \;\Longleftrightarrow\; |t+2|<1 \;\Longleftrightarrow\; -1<t+2<1 \;\Longleftrightarrow\; -3<t<-1.
Então o primeiro retângulo é um pulso de altura 1 no intervalo (-3,-1) (centro em -2, largura 2).
  • Para o segundo termo \operatorname{ret}\!\left(\frac{t+1}{2}\right):
\operatorname{ret}\!\left(\frac{t+1}{2}\right)=1 \quad\text{quando}\quad \left|\frac{t+1}{2}\right|<\tfrac{1}{2},
ou seja
|t+1|<1 \;\Longleftrightarrow\; -2<t<0.
Então o segundo retângulo é um pulso de altura 1 no intervalo (-2,0) (centro em -1, largura 2).

Passo 5

Agora construo g(t) como diferença dos dois retângulos e analiso as regiões (isso é o que você desenha no gráfico):
  • Regiões relevantes (baseadas nos intervalos (-3,-1) e (-2,0)):
    • Para -\!3<t<-\!2: apenas o primeiro retângulo está presente (o segundo ainda não). Logo g(t)=1-0=1.
    • Para -\!2<t<-\!1: os dois retângulos coexistem (há sobreposição). Cada um vale 1, então g(t)=1-1=0.
    • Para -\!1<t<0: apenas o segundo retângulo está presente (o primeiro já terminou). Então g(t)=0-1=-1.
    • Para t\le -3 ou t\ge 0: nenhum dos retângulos está presente, então g(t)=0.
  • Observação sobre pontos de fronteira (t=-3,-2,-1,0): dependendo da convenção da função \operatorname{ret} nas fronteiras usamos valor 0 ou 1/2; isso não altera a forma principal do gráfico (pulso positivo de altura 1 em (-3,-2), nulidade em (-2,-1), pulso negativo de altura -1 em (-1,0)).

Passo 6

Descrição do gráfico (como desenhar passo a passo):
  • Eixo horizontal t, eixo vertical g(t).
  • Entre -3 e -2 desenhe uma barra horizontal em g=1.
  • Entre -2 e -1 desenhe g=0 (linha no eixo).
  • Entre -1 e 0 desenhe uma barra horizontal em g=-1.
  • Fora de [-3,0] desenhe g=0.
  • Nos pontos de fronteira você pode colocar círculos abertos (se usar a convenção de excluir as fronteiras) ou valores convencionais; a forma contínua principal é exatamente essa combinação de dois retângulos que se cancelam na sobreposição.

Resposta

g(t)= \begin{cases} 1, & -3<t<-2,\\[4pt] 0, & -2<t<-1,\\[4pt] -1, & -1<t<0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Exercícios relacionados