1.7-1 Para os sistemas descritos pelas seguinte equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais si não lineares.
(d) \frac{d y}{d t}+y^{2}(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado pede: para o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido pela equação
\frac{d y}{d t} + y^{2}(t) = x(t),
determine se o sistema é linear ou não linear. Informações dadas: entrada x(t), saída y(t) e a equação diferencial algébrica que relaciona as duas.

Passo 2

O que significa “sistema linear” (regra que vamos usar)? Um sistema é linear se o operador que transforma y(\cdot) em x(\cdot) (ou vice‑versa) satisfaz o princípio da superposição: para quaisquer sinais y_{1}(t), y_{2}(t) e quaisquer escalares a,b, deve valer
L[a\,y_{1}+b\,y_{2}] = a\,L[y_{1}] + b\,L[y_{2}],
onde L[\cdot] é o operador definido pela equação do sistema. Essa condição engloba duas propriedades: aditividade ( L[y_{1}+y_{2}] = L[y_{1}] + L[y_{2}]) e homogeneidade ( L[c\,y] = c\,L[y] para todo escalar c). Se algum desses falha, o sistema é não linear.

Passo 3

Definimos o operador L a partir da equação dada. Reescrevendo, temos
L[y] \equiv \frac{d y}{d t} + y^{2}(t).
Aplicamos L a uma combinação linear a\,y_{1}+b\,y_{2}. Calcule passo a passo:
a) Derivada:
\frac{d}{dt}\big(a\,y_{1}+b\,y_{2}\big) = a\,\frac{d y_{1}}{d t} + b\,\frac{d y_{2}}{d t}.
b) Termo quadrático:
\big(a\,y_{1}+b\,y_{2}\big)^{2} = a^{2}y_{1}^{2} + 2ab\,y_{1}y_{2} + b^{2}y_{2}^{2}.
Somando as duas contribuições:
L[a\,y_{1}+b\,y_{2}] = a\,\frac{d y_{1}}{d t} + b\,\frac{d y_{2}}{d t} + a^{2}y_{1}^{2} + 2ab\,y_{1}y_{2} + b^{2}y_{2}^{2}.

Passo 4

Agora calcule a\,L[y_{1}] + b\,L[y_{2}]:
a\,L[y_{1}] + b\,L[y_{2}] = a\!\left(\frac{d y_{1}}{d t} + y_{1}^{2}\right) + b\!\left(\frac{d y_{2}}{d t} + y_{2}^{2}\right)
= a\,\frac{d y_{1}}{d t} + b\,\frac{d y_{2}}{d t} + a\,y_{1}^{2} + b\,y_{2}^{2}.
Compare com L[a\,y_{1}+b\,y_{2}] calculado no passo anterior. As expressões diferem porque em L[a\,y_{1}+b\,y_{2}] aparecem os termos a^{2}y_{1}^{2}, b^{2}y_{2}^{2} e o termo cruzado 2ab\,y_{1}y_{2}, enquanto em a\,L[y_{1}] + b\,L[y_{2}] aparecem a\,y_{1}^{2} e b\,y_{2}^{2}. Em geral essas duas coleções de termos não coincidem, salvo casos especiais (por exemplo, a=0, b=0, y_{1}=0, y_{2}=0 ou alguns valores particulares de a,b).

Passo 5

Para ficar intuitivo, mostro um contraexemplo numérico simples (só para ver com números): escolha a=b=1 e funções constantes y_{1}(t)\equiv 1, y_{2}(t)\equiv 1. Então, da fórmula:
L[y_{1}+y_{2}] = L[2] = \frac{d}{dt}(2) + 2^{2} = 0 + 4 = 4,
enquanto
L[y_{1}] + L[y_{2}] = (0+1^{2}) + (0+1^{2}) = 1 + 1 = 2.
Como 4 \neq 2, a condição de aditividade (parte da superposição) falha — logo o operador não é linear.

Passo 6

Outra maneira simples de ver a não linearidade é testar homogeneidade: pegue um escalar c e uma função y. Então
L[c\,y] = c\,\frac{d y}{d t} + c^{2}y^{2},
enquanto
c\,L[y] = c\,\frac{d y}{d t} + c\,y^{2}.
Essas duas expressões só são iguais para todo y se c^{2}y^{2} = c\,y^{2} para todo y, o que exigiria c^{2}=c (ou y\equiv0). Para um c genérico (por exemplo c=2) e y não nula, a igualdade não vale. Portanto a homogeneidade falha — outro sinal de não linearidade.

Passo 7

Para fixar a intuição: o termo culpado pela não linearidade é y^{2}(t). Se a equação tivesse sido \dfrac{d y}{d t} + k\,y(t) = x(t) com k constante, então o operador seria linear porque soma e multiplicação por escalar se distribuiriam sem criar termos novos (nenhum termo com potência maior que 1 ou produto de duas soluções apareceria).

Resposta

Não linear.

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