1.7-1 Para os sistemas descritos pelas seguinte equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais si não lineares.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: para o sistema com entrada
e saída
definido pela equação
determine se o sistema é linear ou não linear. Informações dadas: entrada
, saída
e a equação diferencial algébrica que relaciona as duas.
Passo 2
O que significa “sistema linear” (regra que vamos usar)? Um sistema é linear se o operador que transforma
em
(ou vice‑versa) satisfaz o princípio da superposição: para quaisquer sinais
,
e quaisquer escalares
, deve valer
onde
é o operador definido pela equação do sistema. Essa condição engloba duas propriedades: aditividade (
) e homogeneidade (
para todo escalar
). Se algum desses falha, o sistema é não linear.
Passo 3
Definimos o operador
a partir da equação dada. Reescrevendo, temos
Aplicamos
a uma combinação linear
. Calcule passo a passo:
a) Derivada:
a) Derivada:
b) Termo quadrático:
Somando as duas contribuições:
Passo 4
Agora calcule
:
Compare com
calculado no passo anterior. As expressões diferem porque em
aparecem os termos
,
e o termo cruzado
, enquanto em
aparecem
e
. Em geral essas duas coleções de termos não coincidem, salvo casos especiais (por exemplo,
,
,
,
ou alguns valores particulares de
).
Passo 5
Para ficar intuitivo, mostro um contraexemplo numérico simples (só para ver com números): escolha
e funções constantes
,
. Então, da fórmula:
enquanto
Como
, a condição de aditividade (parte da superposição) falha — logo o operador não é linear.
Passo 6
Outra maneira simples de ver a não linearidade é testar homogeneidade: pegue um escalar
e uma função
. Então
enquanto
Essas duas expressões só são iguais para todo
se
para todo
, o que exigiria
(ou
). Para um
genérico (por exemplo
) e
não nula, a igualdade não vale. Portanto a homogeneidade falha — outro sinal de não linearidade.
Passo 7
Para fixar a intuição: o termo culpado pela não linearidade é
. Se a equação tivesse sido
com
constante, então o operador seria linear porque soma e multiplicação por escalar se distribuiriam sem criar termos novos (nenhum termo com potência maior que 1 ou produto de duas soluções apareceria).
Resposta
Não linear.