Encontre a função de transferência dos seguintes sistemas:
5 y^{\prime}(t)+10 y(t)=2 x(t)

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos a equação diferencial linear de primeira ordem
5\,y'(t)+10\,y(t)=2\,x(t).
O que o exercício pede: encontrar a função de transferência do sistema, isto é, uma expressão algébrica que relaciona a transformada de Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada, assumindo condições iniciais apropriadas.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{Equação: }5\,y'(t)+10\,y(t)=2\,x(t).çã
Não foram fornecidas condições iniciais explícitas; para obter a função de transferência padrão assume-se condições iniciais nulas (ver explicação nos próximos passos).

Passo 2

O que é função de transferência e regra básica que vamos usar. A função de transferência G(s) é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada sob condições iniciais nulas:
G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)},
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}. Para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica no domínio s usamos a transformada de Laplace. Uma propriedade que usaremos é a transformada da derivada: para a derivada primeira
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0^-),
onde y(0^-) é o valor inicial de y imediatamente antes de t=0. Como queremos a função de transferência padrão do sistema causal, assumimos condições iniciais nulas:
y(0^-)=0.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial dada. Tomando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados de
5\,y'(t)+10\,y(t)=2\,x(t)
obtemos, usando linearidade e a propriedade da derivada,
5\big(sY(s)-y(0^-)\big)+10Y(s)=2X(s).

Passo 4

Substituindo a condição inicial nula y(0^-)=0 na equação transformada. Com y(0^-)=0 a expressão do passo anterior simplifica para
5sY(s)+10Y(s)=2X(s).

Passo 5

Colocando Y(s) em evidência e isolando a razão Y(s)/X(s). Fatoramos Y(s) no lado esquerdo:
Y(s)\big(5s+10\big)=2X(s).
Dividindo ambos os lados por X(s) e por (5s+10) obtemos a função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{2}{5s+10}.

Passo 6

Simplificação e interpretação rápida. Podemos fatorar 5 no denominador para deixar em forma padrão de pólo simples:
G(s)=\frac{2}{5(s+2)}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{s+2}.
Aqui \frac{2}{5} é o ganho DC (valor em s=0) e o pólo do sistema está em s=-2. Em forma decimal o ganho é \frac{2}{5}=0,4, então uma forma alternativa é
G(s)=\frac{0,4}{s+2}.

Resposta

\displaystyle G(s)=\frac{2}{5s+10}
\displaystyle G(s)=\frac{2}{5(s+2)}=\frac{0,4}{s+2}

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