Encontre a função de transferência dos seguintes sistemas:
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos a equação diferencial linear de primeira ordem
O que o exercício pede: encontrar a função de transferência do sistema, isto é, uma expressão algébrica que relaciona a transformada de Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada, assumindo condições iniciais apropriadas.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Não foram fornecidas condições iniciais explícitas; para obter a função de transferência padrão assume-se condições iniciais nulas (ver explicação nos próximos passos).
Passo 2
O que é função de transferência e regra básica que vamos usar. A função de transferência
é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada sob condições iniciais nulas:
onde
e
. Para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica no domínio
usamos a transformada de Laplace. Uma propriedade que usaremos é a transformada da derivada: para a derivada primeira
onde
é o valor inicial de
imediatamente antes de
. Como queremos a função de transferência padrão do sistema causal, assumimos condições iniciais nulas:
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial dada. Tomando
em ambos os lados de
obtemos, usando linearidade e a propriedade da derivada,
Passo 4
Substituindo a condição inicial nula
na equação transformada. Com
a expressão do passo anterior simplifica para
Passo 5
Colocando
em evidência e isolando a razão
. Fatoramos
no lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por
e por
obtemos a função de transferência
Passo 6
Simplificação e interpretação rápida. Podemos fatorar
no denominador para deixar em forma padrão de pólo simples:
Aqui
é o ganho DC (valor em
) e o pólo do sistema está em
. Em forma decimal o ganho é
, então uma forma alternativa é