Encontre a resposta particular para os seguintes sistemas:
\quad y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=x(t), para x(t)=e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t),
onde o termo de entrada é x(t)=e^{2t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação não-homogênea é \;y''+3y'+2y=e^{2t}\;.
  • Queremos apenas a resposta particular (ou seja, uma função y_p(t) que satisfaça a equação quando substituída).
  • Nenhuma condição inicial foi dada (não é necessária para obter a particular).

Passo 2

Escolha do método e por quê (de forma simples e prática): para termos do lado direito que são exponenciais como e^{\alpha t}, o método mais direto é o método dos coeficientes indeterminados — a gente supõe uma forma para y_p parecida com o termo forçante e determina constantes. Vou usar esse método porque aqui o forçante é exatamente uma exponencial simples e^{2t} e a equação tem coeficientes constantes, então funciona bem e é rápido.

Passo 3

Verificar possibilidade de ressonância (importante para escolher a forma certa de y_p): calculo o polinômio característico da parte homogênea
r^2+3r+2=0.
Resolvo essa equação quadrática (mostro cada passo):
  • Discriminante: \Delta = 3^2-4\cdot1\cdot2 = 9-8=1.
  • Raízes: r=\dfrac{-3\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3\pm1}{2}. Assim as raízes são r=-1 e r=-2.
Observação didática sobre ressonância: se o expoente 2 (do e^{2t}) fosse igual a uma das raízes do polinômio característico (isto é, se 2 fosse -1 ou -2), teríamos ressonância e precisaríamos multiplicar a forma tentativa por t (ou por t^m se a raiz fosse de multiplicidade m). Aqui, 2 não é raiz de -1 nem de -2, logo NÃO há ressonância — portanto podemos tentar uma forma simples.

Passo 4

Escolher a forma tentativa para a solução particular: por não haver ressonância e o forçante ser e^{2t}, tomo
y_p(t)=A e^{2t},
onde A é uma constante indeterminada que vamos encontrar. Explicando a ideia: como derivar exponencial só multiplica por constantes ( (e^{\alpha t})'=\alpha e^{\alpha t}), escolher A e^{2t} mantém todas as parcelas proporcionais a e^{2t} e facilita a resolução.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p (mostro passo a passo):
y_p(t)=A e^{2t},
y_p'(t)=2A e^{2t},
y_p''(t)=4A e^{2t}.
Explicação rápida: derivada de e^{2t} é 2e^{2t}; derivando de novo multiplica por mais 2, então fica 4e^{2t}. A constante A sai fatorada em todas.

Passo 6

Substituir y_p, y_p', y_p'' na equação e resolver para A:
Substituindo na equação
y''+3y'+2y=e^{2t},
temos
4A e^{2t} + 3(2A e^{2t}) + 2(A e^{2t}) = e^{2t}.
Fatoremos e^{2t} (não é zero), então fica
(4A + 6A + 2A)\,e^{2t} = e^{2t}.
Soma dos coeficientes:
4A+6A+2A = 12A.
Portanto
12A\,e^{2t} = e^{2t}.
Como e^{2t} é diferente de zero para todo t, podemos dividir ambos os lados por e^{2t} e obter
12A = 1.
Logo
A=\dfrac{1}{12}.

Passo 7

Concluir a solução particular encontrada: substituindo A=\dfrac{1}{12} na forma tentativa,
y_p(t)=\dfrac{1}{12} e^{2t}.

Passo 8

Comentário didático final curto (útil para a prova): regra prática — se o forçante é P(t)e^{\alpha t}, tentar t^sQ(t)e^{\alpha t}, onde s é a multiplicidade de \alpha como raiz do polinômio característico; aqui s=0 porque \alpha=2 não é raiz, então tentamos Ae^{2t}. No caso de ressonância simples (se \alpha fosse uma raiz simples) usaríamos tAe^{\alpha t}, etc.

Resposta

\displaystyle y_p(t)=\frac{1}{12}e^{2t}

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