Encontre a resposta particular para os seguintes sistemas:
, para
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde o termo de entrada é
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação não-homogênea é
. - Queremos apenas a resposta particular (ou seja, uma função
que satisfaça a equação quando substituída). - Nenhuma condição inicial foi dada (não é necessária para obter a particular).
Passo 2
Escolha do método e por quê (de forma simples e prática): para termos do lado direito que são exponenciais como
, o método mais direto é o método dos coeficientes indeterminados — a gente supõe uma forma para
parecida com o termo forçante e determina constantes. Vou usar esse método porque aqui o forçante é exatamente uma exponencial simples
e a equação tem coeficientes constantes, então funciona bem e é rápido.
Passo 3
Verificar possibilidade de ressonância (importante para escolher a forma certa de
): calculo o polinômio característico da parte homogênea
Resolvo essa equação quadrática (mostro cada passo):
- Discriminante:
. - Raízes:
. Assim as raízes são e .
Observação didática sobre ressonância: se o expoente
(do
) fosse igual a uma das raízes do polinômio característico (isto é, se
fosse
ou
), teríamos ressonância e precisaríamos multiplicar a forma tentativa por
(ou por
se a raiz fosse de multiplicidade
). Aqui,
não é raiz de
nem de
, logo NÃO há ressonância — portanto podemos tentar uma forma simples.
Passo 4
Escolher a forma tentativa para a solução particular: por não haver ressonância e o forçante ser
, tomo
onde
é uma constante indeterminada que vamos encontrar. Explicando a ideia: como derivar exponencial só multiplica por constantes (
), escolher
mantém todas as parcelas proporcionais a
e facilita a resolução.
Passo 5
Calcular as derivadas de
(mostro passo a passo):
Explicação rápida: derivada de
é
; derivando de novo multiplica por mais
, então fica
. A constante
sai fatorada em todas.
Passo 6
Substituir
na equação e resolver para
:
Substituindo na equação
Substituindo na equação
temos
Fatoremos
(não é zero), então fica
Soma dos coeficientes:
Portanto
Como
é diferente de zero para todo
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Logo
Passo 7
Concluir a solução particular encontrada: substituindo
na forma tentativa,
Passo 8
Comentário didático final curto (útil para a prova): regra prática — se o forçante é
, tentar
, onde
é a multiplicidade de
como raiz do polinômio característico; aqui
porque
não é raiz, então tentamos
. No caso de ressonância simples (se
fosse uma raiz simples) usaríamos
, etc.