Encontre as funções aceleração e deslocamento se a função velocidade de uma partícula, para um tempo x , é dada por (sendo constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} \mathrm{c} “e” d ):
v(x)=a x^{3}-b /(c x+d)

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade
v(x)=a x^{3}-\frac{b}{c x+d}
e pede (1) a aceleração a(x)=v'(x) e (2) o deslocamento s(x) satisfazendo s'(x)=v(x). Para isso vamos usar as regras de derivação (regra do poder e regra da cadeia) e as de integração elementar (integração de potências e de 1/(c x+d)).

Passo 2

Calculamos a aceleração por
a(x)=v'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(a x^{3}\Bigr)\;-\;\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{b}{c x+d}\Bigr).
Pela regra do poder,
\frac{d}{dx}(a x^{3})=3a x^{2}.
Pela regra da cadeia, escrevemos \frac{b}{c x+d}=b\,(c x+d)^{-1} e obtemos
\frac{d}{dx}\!\bigl[b\,(c x+d)^{-1}\bigr] =b\cdot(-1)\,(c x+d)^{-2}\cdot c =-\frac{b\,c}{(c x+d)^{2}}.
Como vinha com sinal menos na velocidade, o resultado final é
a(x)=3a x^{2}+\frac{b\,c}{(c x+d)^{2}}.

Passo 3

Para o deslocamento integramos v(x):
s(x)=\int v(x)\,dx =\int a x^{3}\,dx\;-\;\int \frac{b}{c x+d}\,dx.
  1. \displaystyle \int a x^{3}\,dx =a\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{a}{4}x^{4}.
  2. Para \displaystyle \int \frac{b}{c x+d}\,dx usamos a substituição u=c x+d, du=c\,dx, logo
\int \frac{b}{c x+d}\,dx =b\int u^{-1}\,\frac{du}{c} =\frac{b}{c}\ln\bigl|u\bigr|+C =\frac{b}{c}\ln\bigl|c x+d\bigr|+C.
Portanto
s(x)=\frac{a}{4}x^{4} -\frac{b}{c}\ln\bigl|c x+d\bigr| + C.

Resposta

A aceleração é
a(x)=3a x^{2}+\frac{b\,c}{(c x+d)^{2}}.
O deslocamento é
s(x)=\frac{a}{4}x^{4} -\frac{b}{c}\ln\bigl|c x+d\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

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