Encontre as funções aceleração e deslocamento se a função velocidade de uma partícula, para um tempo x , é dada por (sendo constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} \mathrm{c} “e” d ):
v(x)=(a x+b)^{c x}+d

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula em função do tempo x como
v(x) = (a\,x + b)^{c\,x} + d,
onde a,b,c,d são constantes. Precisamos encontrar
  1. A função aceleração a(x)=v'(x).
  2. A função deslocamento s(x)=\displaystyle\int v(x)\,dx.

Passo 2

Para obter a aceleração, usamos a regra de derivação de uma função do tipo
f(x) = u(x)^{\,w(x)},
que satisfaz
f'(x) = u(x)^{\,w(x)}\Bigl(w'(x)\,\ln u(x) \;+\; w(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}\Bigr).
Aqui u(x)=a\,x+b e w(x)=c\,x.

Passo 3

Calculando as derivadas intermediárias:
u'(x) = a, \quad w'(x)=c.
Logo, a derivada de (a\,x+b)^{c\,x} é
\frac{d}{dx}\bigl((a\,x+b)^{c\,x}\bigr) = (a\,x+b)^{c\,x}\Bigl(c\,\ln(a\,x+b) \;+\; c\,x\;\frac{a}{a\,x+b}\Bigr).
Como d é constante, sua derivada é zero. Portanto,
a(x) = v'(x) = (a\,x+b)^{c\,x}\Bigl(c\,\ln(a\,x+b) + \frac{c\,a\,x}{a\,x+b}\Bigr).

Passo 4

Para obter o deslocamento s(x), precisamos de
s(x) = \int v(x)\,dx = \int\bigl((a\,x+b)^{c\,x} + d\bigr)\,dx = \int (a\,x+b)^{c\,x}\,dx \;+\; \int d\,dx.

Passo 5

A integral \displaystyle\int (a\,x+b)^{c\,x}\,dx não se expressa em termos de funções elementares usuais. Então escrevemos
s(x) = \int (a\,x+b)^{c\,x}\,dx \;+\; d\,x \;+\; C,
onde C é constante de integração.

Resposta

Aceleração:
a(x) = (a\,x+b)^{c\,x}\Bigl(c\,\ln(a\,x+b) + \frac{c\,a\,x}{a\,x+b}\Bigr).
Deslocamento:
s(x) = \int (a\,x+b)^{c\,x}\,dx \;+\; d\,x \;+\; C,
sem forma elementar simples para \displaystyle\int (a\,x+b)^{c\,x}\,dx.

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