Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, e g \circ g e seus respectivos domínios
f(x)=x^{3}+2, \quad g(x)=\sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais
f(x)=x^{3}+2,
g(x)=\sqrt[3]{x},
e pede as quatro composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g junto com seus domínios.
Conteúdo aplicado: definição de composição de funções e determinação de domínio de h\circ k, que é
\Dom(h\circ k)=\{x\in\Dom(k)\mid k(x)\in\Dom(h)\}.

Passo 2

Calcular f\circ g. Por definição,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr).
Como f(t)=t^{3}+2, substituindo t=\sqrt[3]{x}
(f\circ g)(x)=\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{3}+2=x+2.
Domínio: \Dom(g)=\R e g(x)\in\R sempre pertence a \Dom(f)=\R. Logo
\Dom(f\circ g)=\R.

Passo 3

Calcular g\circ f. Por definição,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(x^{3}+2\bigr).
Como g(t)=\sqrt[3]{t}, substituindo t=x^{3}+2 obtém-se
(g\circ f)(x)=\sqrt[3]{\,x^{3}+2\,}.
Domínio: \Dom(f)=\R e f(x)\in\R sempre em \Dom(g)=\R. Então
\Dom(g\circ f)=\R.

Passo 4

Calcular f\circ f. Por definição,
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(x^{3}+2\bigr).
Usando f(t)=t^{3}+2 com t=x^{3}+2,
(f\circ f)(x)=\bigl(x^{3}+2\bigr)^{3}+2.
Domínio: \Dom(f)=\R e f(x)\in\R\subset\Dom(f), logo
\Dom(f\circ f)=\R.

Passo 5

Calcular g\circ g. Por definição,
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=g\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr).
Como g(t)=\sqrt[3]{t}, fica
(g\circ g)(x)=\sqrt[3]{\,\sqrt[3]{x}\,}=\sqrt[9]{x}.
Domínio: \Dom(g)=\R e \sqrt[3]{x}\in\R\subset\Dom(g). Assim
\Dom(g\circ g)=\R.

Resposta

(f∘g)(x)=x +2,   Dom(f∘g)=ℝ
(g∘f)(x)= \sqrt[3]{x^{3}+2},   Dom(g∘f)=ℝ
(f∘f)(x)=( x^{3} +2) ^{3}+2,   Dom(f∘f)=ℝ
(g∘g)(x)= \sqrt[9]{x},   Dom(g∘g)=ℝ

Exercícios relacionados