Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, e g \circ g e seus respectivos domínios
f(x)=6 x-5, \quad g(x)=\frac{x}{2}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=6x-5,\quad g(x)=\frac{x}{2},
ambas definidas em \mathbb{R}, e pede as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g com seus domínios. Vamos usar a definição
(h\circ k)(x)=h\bigl(k(x)\bigr),
e para o domínio de h\circ k vale
\mathrm{dom}(h\circ k)=\{\,x\in\mathrm{dom}(k)\mid k(x)\in\mathrm{dom}(h)\}.

Passo 2

Calcular f\circ g. Substituindo g(x)=x/2 em f:
(f\circ g)(x)=f\!\bigl(g(x)\bigr)=f\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) =6\cdot\frac{x}{2}-5=3x-5.
Como \mathrm{dom}(g)=\mathbb{R} e g(x)\in\mathbb{R}=\mathrm{dom}(f) para todo x, temos
\mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Calcular g\circ f. Substituindo f(x)=6x-5 em g:
(g\circ f)(x)=g\!\bigl(f(x)\bigr)=g(6x-5) =\frac{6x-5}{2}=3x-\frac{5}{2}.
De modo análogo, \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R} e f(x)\in\mathbb{R}=\mathrm{dom}(g), logo
\mathrm{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Calcular f\circ f. Substituindo f(x)=6x-5 novamente em f:
(f\circ f)(x)=f\!\bigl(f(x)\bigr)=f(6x-5) =6(6x-5)-5=36x-30-5=36x-35.
Como \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R} e f(x)\in\mathbb{R}, segue
\mathrm{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Calcular g\circ g. Substituindo g(x)=x/2 em g:
(g\circ g)(x)=g\!\bigl(g(x)\bigr)=g\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x}{4}.
Como \mathrm{dom}(g)=\mathbb{R} e g(x)\in\mathbb{R}, temos
\mathrm{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=3x-5,\quad \mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.
(g\circ f)(x)=3x-\tfrac{5}{2},\quad \mathrm{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.
(f\circ f)(x)=36x-35,\quad \mathrm{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.
(g\circ g)(x)=\tfrac{x}{4},\quad \mathrm{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

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