Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, e g \circ g e seus respectivos domínios
\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad g(x)=x^{2}-4 x

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad g(x)=x^{2}-4x
e pede as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g junto com seus domínios. Vamos usar a definição
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr),\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)
e lembrar que sempre que aparece \sqrt{\cdot} no denominador, o argumento deve ser > 0.

Passo 2

Calcular f\circ g:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{\,g(x)\,}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-4x}}.
Para existir, precisamos
x^{2}-4x>0 \;\Longleftrightarrow\; x(x-4)>0 \;\Longleftrightarrow\; x<0\;\text{ou}\;x>4.
Logo
\Dom(f\circ g)=(-\infty,0)\cup(4,\infty).

Passo 3

Calcular g\circ f:
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = \bigl(f(x)\bigr)^{2}-4\,f(x) = \frac{1}{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}.
Aqui só precisamos que f(x) esteja definido, ou seja \,x>0. Portanto
\Dom(g\circ f)=(0,\infty).

Passo 4

Calcular f\circ f:
(f\circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{\,f(x)\,}} = \frac{1}{\sqrt{\;1/\sqrt{x}\;}} = x^{1/4}.
Novamente exigimos f(x) definido, isto é x>0. Logo
\Dom(f\circ f)=(0,\infty).

Passo 5

Calcular g\circ g:
(g\circ g)(x) = g\bigl(g(x)\bigr) = \bigl(x^{2}-4x\bigr)^{2} -4\bigl(x^{2}-4x\bigr).
Não há raiz nem divisão, então basta x\in\mathbb R.

Resposta

f\circ g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-4x}},\quad \Dom(f\circ g)=(-\infty,0)\cup(4,\infty). g\circ f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{\sqrt{x}},\quad \Dom(g\circ f)=(0,\infty). f\circ f(x)=x^{1/4},\quad \Dom(f\circ f)=(0,\infty). g\circ g(x)=(x^{2}-4x)^{2}-4(x^{2}-4x),\quad \Dom(g\circ g)=\mathbb R.

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