Encontre as funções
e
e seus domínios.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções
e
e pede para encontrar as composições
,
,
e
(o enunciado listou
duas vezes; vou calcular
no lugar da repetição) juntamente com os domínios de cada uma.
Informações dadas:
-
. -
. - Pedidos: as funções
, , e e os respectivos domínios.
Passo 2
Breve explicação didática sobre composição e domínio (lembrete prático).
- Definição:
. Ou seja, primeiro calcula-se e em seguida substitui-se esse valor como entrada de . - Regra de domínio da composição: o domínio de
é o conjunto dos tais que -
pertence ao domínio de (ou seja, está definido), e -
pertence ao domínio de (ou seja, está definido).
-
- Prática: ao compor funções racionais, primeiro faça a expressão algébrica
e simplifique; depois determine o domínio olhando para: - denominadores que aparecem na expressão original de
(valores proibidos de porque está indefinida), - valores de
tais que cai em pontos proibidos do domínio de (ex.: é proibido se tem no denominador), - observar que simplificações algébricas podem esconder pontos proibidos (não reintroduzir valores excluídos só porque a forma simplificada aparenta ser definida lá).
- denominadores que aparecem na expressão original de
Agora vamos calcular cada composição passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
.
Começo substituindo
em
:
Faço a subtração no denominador reunindo em um único quociente:
Logo
Agora o domínio. Devemos exigir:
-
esteja no domínio de : tem denominador , então . -
esteja no domínio de : exige que sua entrada seja diferente de . Então devemos pedir . Resolvendo:
que é uma contradição: não existem
com
. Portanto não surge nenhuma restrição adicional além de
.
Importante: embora a expressão simplificada
esteja aparentemente definida em
(valendo
), não se pode incluir
no domínio porque
é indefinida em
. Portanto o domínio é
Passo 4
Cálculo de
.
Substituo
em
:
Reuno numerador e denominador sobre o mesmo denominador
:
Assim
Agora o domínio. Exigências:
-
deve estar no domínio de : tem denominador , então . -
deve estar no domínio de : exige que sua entrada seja diferente de (pois tem denominador ). Logo devemos excluir tais que . Resolver:
Portanto
torna
indefinida. Juntando as exclusões temos
e
.
Observação: a forma simplificada
também mostra que
é proibido (denominador zero), e
não aparece explicitamente na forma simplificada porque o problema em
veio da indefinição interna de
; mesmo que a expressão simplificada pudesse ser avaliada em
(aqui dá
), não se pode incluir
no domínio porque
não está definida em
.
Logo
Passo 5
Cálculo de
.
Substituo
em
:
Reuno no denominador:
Então
Dominio: condições
-
deve estar no domínio de : . -
deve estar no domínio de (segunda aplicação): isto exige . Resolver:
Portanto
também é excluído. Então
Passo 6
Cálculo de
.
Substituo
em
:
Faço as operações no numerador e denominador:
Dividindo:
Dominio: exigências
-
no domínio de : (porque tem denominador ). -
no domínio de : devemos excluir tal que . Resolver:
Portanto
deve ser excluído. A forma final
também mostra que
é proibido.
Assim
Passo 7
Resumo e observações finais (rápidas e motivadoras).
- Nas composições de funções racionais, sempre verifique as restrições do domínio tanto do argumento interno quanto do externo; às vezes uma simplificação algébrica “esconde” uma exclusão — não reinclua pontos excluídos.
- Você já tem as expressões simplificadas e os domínios explícitos: guarde essa técnica (substituir, juntar frações, simplificar e depois checar domínios). Está indo bem — só praticar mais alguns exercícios semelhantes que a prova vai ficar tranquila!