Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ f e seus domínios.
f(x)=\frac{1}{x-1}, \quad g(x)=\frac{x-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(x)=\dfrac{1}{x-1} e g(x)=\dfrac{x-1}{x+1} e pede para encontrar as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g (o enunciado listou g\circ f duas vezes; vou calcular g\circ g no lugar da repetição) juntamente com os domínios de cada uma.
Informações dadas:
  • f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • g(x)=\dfrac{x-1}{x+1}.
  • Pedidos: as funções (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x) e os respectivos domínios.

Passo 2

Breve explicação didática sobre composição e domínio (lembrete prático).
  • Definição: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Ou seja, primeiro calcula-se g(x) e em seguida substitui-se esse valor como entrada de f.
  • Regra de domínio da composição: o domínio de f\circ g é o conjunto dos x tais que
    1. x pertence ao domínio de g (ou seja, g(x) está definido), e
    2. g(x) pertence ao domínio de f (ou seja, f(g(x)) está definido).
  • Prática: ao compor funções racionais, primeiro faça a expressão algébrica f(g(x)) e simplifique; depois determine o domínio olhando para:
    • denominadores que aparecem na expressão original de g(x) (valores proibidos de x porque g está indefinida),
    • valores de x tais que g(x) cai em pontos proibidos do domínio de f (ex.: g(x)=1 é proibido se f tem x-1 no denominador),
    • observar que simplificações algébricas podem esconder pontos proibidos (não reintroduzir valores excluídos só porque a forma simplificada aparenta ser definida lá).
Agora vamos calcular cada composição passo a passo.

Passo 3

Cálculo de (f\circ g)(x)=f(g(x)).
Começo substituindo g(x) em f:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,g(x)-1\,}=\frac{1}{\dfrac{x-1}{x+1}-1}.
Faço a subtração no denominador reunindo em um único quociente:
\dfrac{x-1}{x+1}-1=\dfrac{x-1-(x+1)}{x+1}=\dfrac{-2}{x+1}.
Logo
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\dfrac{-2}{x+1}}=\frac{x+1}{-2}=-\frac{x+1}{2}.
Agora o domínio. Devemos exigir:
  1. x esteja no domínio de g: g tem denominador x+1, então x\neq -1.
  2. g(x) esteja no domínio de f: f exige que sua entrada seja diferente de 1. Então devemos pedir g(x)\neq 1. Resolvendo:
\dfrac{x-1}{x+1}=1 \quad\Rightarrow\quad x-1 = x+1 \quad\Rightarrow\quad -1=1,
que é uma contradição: não existem x com g(x)=1. Portanto não surge nenhuma restrição adicional além de x\neq -1.
Importante: embora a expressão simplificada -\dfrac{x+1}{2} esteja aparentemente definida em x=-1 (valendo 0), não se pode incluir x=-1 no domínio porque g é indefinida em -1. Portanto o domínio é
\mathrm{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 4

Cálculo de (g\circ f)(x)=g(f(x)).
Substituo f(x) em g:
(g\circ f)(x)=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}=\frac{\dfrac{1}{x-1}-1}{\dfrac{1}{x-1}+1}.
Reuno numerador e denominador sobre o mesmo denominador x-1:
\frac{1-(x-1)}{x-1}\Bigg/\frac{1+(x-1)}{x-1} =\frac{1-x+1}{1+x-1}=\frac{2-x}{x}.
Assim
(g\circ f)(x)=\frac{2-x}{x}.
Agora o domínio. Exigências:
  1. x deve estar no domínio de f: f tem denominador x-1, então x\neq 1.
  2. f(x) deve estar no domínio de g: g exige que sua entrada seja diferente de -1 (pois g(y) tem denominador y+1). Logo devemos excluir x tais que f(x)=-1. Resolver:
\frac{1}{x-1}=-1 \quad\Rightarrow\quad 1=-(x-1)\quad\Rightarrow\quad 1=-x+1\quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto x=0 torna g(f(x)) indefinida. Juntando as exclusões temos x\neq 0 e x\neq 1.
Observação: a forma simplificada \dfrac{2-x}{x} também mostra que x=0 é proibido (denominador zero), e x=1 não aparece explicitamente na forma simplificada porque o problema em x=1 veio da indefinição interna de f(1); mesmo que a expressão simplificada pudesse ser avaliada em x=1 (aqui dá 1), não se pode incluir x=1 no domínio porque f não está definida em 1.
Logo
\mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.

Passo 5

Cálculo de (f\circ f)(x)=f(f(x)).
Substituo f(x) em f:
(f\circ f)(x)=\frac{1}{f(x)-1}=\frac{1}{\dfrac{1}{x-1}-1}.
Reuno no denominador:
\dfrac{1}{x-1}-1=\dfrac{1-(x-1)}{x-1}=\dfrac{2-x}{x-1}.
Então
(f\circ f)(x)=\frac{1}{\dfrac{2-x}{x-1}}=\frac{x-1}{2-x}.
Dominio: condições
  1. x deve estar no domínio de f: x\neq 1.
  2. f(x) deve estar no domínio de f (segunda aplicação): isto exige f(x)\neq 1. Resolver:
\frac{1}{x-1}=1 \quad\Rightarrow\quad 1=x-1 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto x=2 também é excluído. Então
\mathrm{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}.

Passo 6

Cálculo de (g\circ g)(x)=g(g(x)).
Substituo g(x) em g:
(g\circ g)(x)=\frac{g(x)-1}{g(x)+1}=\frac{\dfrac{x-1}{x+1}-1}{\dfrac{x-1}{x+1}+1}.
Faço as operações no numerador e denominador:
\dfrac{x-1}{x+1}-1=\dfrac{x-1-(x+1)}{x+1}=\dfrac{-2}{x+1}, \qquad \dfrac{x-1}{x+1}+1=\dfrac{x-1+(x+1)}{x+1}=\dfrac{2x}{x+1}.
Dividindo:
(g\circ g)(x)=\frac{-2/(x+1)}{2x/(x+1)}=\frac{-2}{2x}=-\frac{1}{x}.
Dominio: exigências
  1. x no domínio de g: x\neq -1 (porque g tem denominador x+1).
  2. g(x) no domínio de g: devemos excluir x tal que g(x)=-1. Resolver:
\frac{x-1}{x+1}=-1 \quad\Rightarrow\quad x-1=-(x+1)\quad\Rightarrow\quad x-1=-x-1\quad\Rightarrow\quad 2x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto x=0 deve ser excluído. A forma final -\dfrac{1}{x} também mostra que x=0 é proibido.
Assim
\mathrm{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}.

Passo 7

Resumo e observações finais (rápidas e motivadoras).
  • Nas composições de funções racionais, sempre verifique as restrições do domínio tanto do argumento interno quanto do externo; às vezes uma simplificação algébrica “esconde” uma exclusão — não reinclua pontos excluídos.
  • Você já tem as expressões simplificadas e os domínios explícitos: guarde essa técnica (substituir, juntar frações, simplificar e depois checar domínios). Está indo bem — só praticar mais alguns exercícios semelhantes que a prova vai ficar tranquila!

Resposta

f\circ g(x)=-\dfrac{x+1}{2},\\ \mathrm{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}
g\circ f(x)=\dfrac{2-x}{x},\\ \mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}
f\circ f(x)=\dfrac{x-1}{2-x},\\ \mathrm{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}
g\circ g(x)=-\dfrac{1}{x},\\ \mathrm{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}

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