Encontre as funções
e
e seus domínios.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede que eu encontre as funções compostas
,
,
e (novamente)
— junto com os respectivos domínios. Vou listar claramente o que é pedido:
- Encontrar
e seu domínio. - Encontrar
e seu domínio. - Encontrar
e seu domínio. - Encontrar
(repetido) e seu domínio.
Passo 2
O que significa compor funções e como achar o domínio da composição (aula rápida e prática).
- Definição:
. Ou seja, primeiro aplica-se em e depois aplica-se ao resultado. - Regra de domínio: o domínio de
é o conjunto de que satisfazem duas coisas simultaneamente: -
deve pertenecer ao domínio de ; -
deve pertencer ao domínio de .
Em símbolos:
-
Vou aplicar exatamente essa regra em cada composição.
Passo 3
Domínios individuais (isso sempre ajuda a montar os domínios das composições).
- Para
a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa. Logo - Para
polinômios estão definidos para todo real, então
Passo 4
Calcular
.
- Primeiro a expressão:
- Agora o domínio usando a regra:
deve estar em e deve estar em . Assim exigimos Resolver : fatorando, As raízes críticas são e . Testando os intervalos (ou lembrando do formato de parábola), obtemos que a desigualdade é verdadeira para Portanto o domínio é
Passo 5
Calcular
.
- Expressão:
- Simplificação: para
no domínio de (ou seja ), a raiz quadrada retorna um número não negativo, e ao elevar ao quadrado obtemos exatamente Observação importante: embora a expressão algébrica simplifique para , o domínio da composição continua sendo restrito pelos valores de que fazem definida. Assim o domínio é
Passo 6
Calcular
.
- Expressão:
- Domínio: precisa valer simultaneamente
e . Ou seja precisamos de Como o lado esquerdo é não negativo, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder soluções: Além disso já garante , então a condição completa é . Assim
Passo 7
Repetição:
(pedido novamente no enunciado).
- Já calculei antes: a fórmula é
válida para , e o domínio é Portanto a segunda ocorrência de tem exatamente a mesma expressão e domínio.