Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ f e seus domínios.
f(x)=\sqrt{x-1}, g(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt{x-1},\qquad g(x)=x^{2},
e pede que eu encontre as funções compostas f\circ g, g\circ f, f\circ f e (novamente) g\circ f — junto com os respectivos domínios. Vou listar claramente o que é pedido:
  • Encontrar f\circ g e seu domínio.
  • Encontrar g\circ f e seu domínio.
  • Encontrar f\circ f e seu domínio.
  • Encontrar g\circ f (repetido) e seu domínio.

Passo 2

O que significa compor funções e como achar o domínio da composição (aula rápida e prática).
  • Definição: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big). Ou seja, primeiro aplica-se g em x e depois aplica-se f ao resultado.
  • Regra de domínio: o domínio de f\circ g é o conjunto de x que satisfazem duas coisas simultaneamente:
    1. x deve pertenecer ao domínio de g;
    2. g(x) deve pertencer ao domínio de f.
      Em símbolos:
    \operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Vou aplicar exatamente essa regra em cada composição.

Passo 3

Domínios individuais (isso sempre ajuda a montar os domínios das composições).
  • Para f(x)=\sqrt{x-1} a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa. Logo \operatorname{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x-1\ge 0\}=[1,\infty).
  • Para g(x)=x^{2} polinômios estão definidos para todo real, então \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).

Passo 4

Calcular f\circ g.
  • Primeiro a expressão: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\sqrt{\,g(x)-1\,}=\sqrt{x^{2}-1}.
  • Agora o domínio usando a regra: x deve estar em \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R} e g(x)=x^{2} deve estar em \operatorname{dom}(f)=[1,\infty). Assim exigimos x^{2}\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-1\ge 0.Resolver x^{2}-1\ge 0: fatorando, x^{2}-1=(x-1)(x+1).As raízes críticas são x=-1 e x=1. Testando os intervalos (ou lembrando do formato de parábola), obtemos que a desigualdade é verdadeira para x\le -1\quad\text{ou}\quad x\ge 1.Portanto o domínio é \operatorname{dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 5

Calcular g\circ f.
  • Expressão: (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\big(\sqrt{x-1}\,\big)^{2}.
  • Simplificação: para x no domínio de f (ou seja x\ge 1), a raiz quadrada retorna um número não negativo, e ao elevar ao quadrado obtemos exatamente \big(\sqrt{x-1}\,\big)^{2}=x-1\qquad\text{para }x\ge 1.Observação importante: embora a expressão algébrica simplifique para x-1, o domínio da composição continua sendo restrito pelos valores de x que fazem f definida. Assim o domínio é \operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty).

Passo 6

Calcular f\circ f.
  • Expressão: (f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\sqrt{\,f(x)-1\,}=\sqrt{\sqrt{x-1}-1}.
  • Domínio: precisa valer simultaneamente x\in\operatorname{dom}(f)=[1,\infty) e f(x)=\sqrt{x-1}\in\operatorname{dom}(f)=[1,\infty). Ou seja precisamos de \sqrt{x-1}\ge 1.Como o lado esquerdo é não negativo, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder soluções: \sqrt{x-1}\ge 1\quad\Longrightarrow\quad x-1\ge 1^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x\ge 2.Além disso x\ge 2 já garante x\ge 1, então a condição completa é x\ge 2. Assim \operatorname{dom}(f\circ f)=[2,\infty).

Passo 7

Repetição: g\circ f (pedido novamente no enunciado).
  • Já calculei antes: a fórmula é (g\circ f)(x)=x-1 válida para x\ge 1, e o domínio é \operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty).Portanto a segunda ocorrência de g\circ f tem exatamente a mesma expressão e domínio.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-1},\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)
(g\circ f)(x)=x-1,\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty)
(f\circ f)(x)=\sqrt{\sqrt{x-1}-1},\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=[2,\infty)
(g\circ f)(x)=x-1,\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty)

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