Encontre uma generalização das soluções para a equação
.
Passo 1
O enunciado pede uma “generalização das soluções” da equação
. Vou explicitar exatamente o que isso significa e quais são as informações que vou usar:
- O que se quer: descrever todas as tuplas de inteiros
que satisfazem (essas tuplas são chamadas de ternas pitagóricas). - Hipótese implícita que vou adotar (padrão nesse tipo de problema): procurar soluções inteiras e, para organizar, considerar
. Se necessário, a solução inteira completa permite trocar sinal de ou sem problema. - Informação que será útil: podemos trabalhar primeiro com ternas primitivas (ou seja,
) e depois obter todas as demais multiplicando por um fator inteiro positivo.
Passo 2
Idéia geral e começo do método — parametrização da circunferência unitária usando racionais.
- Normalizo dividindo a equação por
(assumindo ):
Defino
e
. Assim
é um par racional que satisfaz
ou seja, um ponto racional na circunferência unitária.
- Para parametrizar todos os pontos racionais da circunferência, uso a técnica geométrica clássica: traçar uma reta com coeficiente angular
que passe por um ponto racional já conhecido da circunferência. Um ponto conveniente é (racional). A reta de coeficiente angular passando por tem equação
- Interseção dessa reta com a circunferência
. Substituo na circunferência:
Vou resolver essa equação quadrática em
. Expando:
Sabendo que
é uma raiz (porque a reta passa por
), o produto das raízes é
e uma raiz é
, então a outra raiz é
Substituindo na reta para
obtemos
Conclusão desta etapa: toda interseção dá
para algum número racional
. Como queremos pontos racionais, basta tomar
racional.
Passo 3
Passando de números racionais para inteiros — eu escolho
com
inteiros,
.
- Substituo
nas fórmulas de e :
- Lembre que
e . Assim
Multiplicando as duas igualdades por
e observando que
divide algum múltiplo comum, podemos escrever as soluções inteiras na forma
onde
é um inteiro positivo que resolve a questão do denominador (ou, dito de outro modo, é o fator de escala para obter inteiros a partir das frações). Assim obtemos uma família de soluções parametricamente em termos de inteiros
.
Passo 4
Caracterização das ternas primitivas — condições sobre
e
que garantem primitividade.
- Definição: uma tripla
é primitiva se . Queremos saber quando a fórmula
gera uma tripla primitiva (ou quando um
aparece).
-
Condição de coprimalidade: se
então divide , divide e divide , logo a tripla teria um fator comum ; portanto para obter primitivas é necessário . -
Condição de paridade: se
e são ambos ímpares então
-
e , - então
e .
Nesse casoe são pares e também é par, logo a tripla não é primitiva. Portanto, para primitividadade, e não podem ser ambos ímpares; uma forma simples de garantir isso é exigir que um seja par e o outro ímpar (paridade oposta).
- Soma das observações: se
inteiros, e e têm paridade diferente (um par, outro ímpar), então a fórmula com
gera uma tripla pitagórica primitiva. Além disso, toda tripla primitiva pode ser obtida assim — a prova da completude vem no passo seguinte.
Passo 5
Prova da completude (todo tripla primitiva vem dessa fórmula).
Dado
primitivo satisfazendo
, escolho organizar para que
seja par (sempre é possível trocar
e
se preciso). Então
e
são ímpares (pois se
fosse par, então
e
seriam pares, contradizendo primitivid.). Considere
Esses dois números são positivos, pares, e multiplicam-se para dar
Defina
Então
e
são inteiros positivos,
e
(a gcd é
porque
ou
, e primitividade força que seja
após dividir por
; o argumento completo mostra que
e
são coprimos). Quando dois inteiros coprimos têm produto que é quadrado, então cada um é quadrado. Assim existem inteiros
tais que
Reescrevendo:
Isto mostra que toda tripla primitiva surge de alguns
coprimos e de paridade oposta, conforme a fórmula de Euclides.
Passo 6
Observações adicionais práticas e exemplos.
-
Ordem: a fórmula dá
, mas e podem ser trocados (ou seja, também é solução). Então normalmente se toma para garantir . -
Exemplos:
- Tomando
obtém-se . - Tomando
obtém-se . - Para ter uma terna não-primtiva, escolho
. Por exemplo e dá , múltiplo de .
- Sinais: permitir
ou negativos é trivial; as identidades ainda valem com sinal trocado. Normalmente busca-se soluções em inteiros não negativos.
Passo 7
Resumo final do resultado (forma compacta e completa):
- Todas as ternas inteiras
com são obtidas por
onde
são inteiros com
,
. Para gerar todas as ternas primitivas toma-se
e escolhe-se
com
e paridade oposta (um par, outro ímpar). Trocar
e
também gera soluções.
Passo 8
Pequena dica de prova curta para a aula/prova: ao ver
, pense em dividir por
e parametrizar pontos racionais da circunferência com uma reta de inclinação racional — isso costuma ser uma via rápida e elegante para obter a fórmula de Euclides.
Resposta
Para ternas primitivas: