Encontre uma generalização das soluções para a equação x^{2}+y^{2}=z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede uma “generalização das soluções” da equação \,x^{2}+y^{2}=z^{2}\,. Vou explicitar exatamente o que isso significa e quais são as informações que vou usar:
  • O que se quer: descrever todas as tuplas de inteiros (x,y,z) que satisfazem \,x^{2}+y^{2}=z^{2}\, (essas tuplas são chamadas de ternas pitagóricas).
  • Hipótese implícita que vou adotar (padrão nesse tipo de problema): procurar soluções inteiras e, para organizar, considerar z>0. Se necessário, a solução inteira completa permite trocar sinal de x ou y sem problema.
  • Informação que será útil: podemos trabalhar primeiro com ternas primitivas (ou seja, \gcd(x,y,z)=1) e depois obter todas as demais multiplicando por um fator inteiro positivo.

Passo 2

Idéia geral e começo do método — parametrização da circunferência unitária usando racionais.
  1. Normalizo dividindo a equação por z^{2} (assumindo z\neq0):
\left(\frac{x}{z}\right)^{2}+\left(\frac{y}{z}\right)^{2}=1.
Defino \displaystyle u=\frac{x}{z} e \displaystyle v=\frac{y}{z}. Assim (u,v) é um par racional que satisfaz
u^{2}+v^{2}=1,
ou seja, um ponto racional na circunferência unitária.
  1. Para parametrizar todos os pontos racionais da circunferência, uso a técnica geométrica clássica: traçar uma reta com coeficiente angular t que passe por um ponto racional já conhecido da circunferência. Um ponto conveniente é (-1,0) (racional). A reta de coeficiente angular t passando por (-1,0) tem equação
v=t(u+1).
  1. Interseção dessa reta com a circunferência u^{2}+v^{2}=1. Substituo v na circunferência:
u^{2}+t^{2}(u+1)^{2}=1.
Vou resolver essa equação quadrática em u. Expando:
u^{2}+t^{2}(u^{2}+2u+1)=1
u^{2}+t^{2}u^{2}+2t^{2}u+t^{2}-1=0
(1+t^{2})u^{2}+2t^{2}u+(t^{2}-1)=0.
Sabendo que u=-1 é uma raiz (porque a reta passa por (-1,0)), o produto das raízes é \dfrac{t^{2}-1}{1+t^{2}} e uma raiz é -1, então a outra raiz é
u=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Substituindo na reta para v obtemos
v=\frac{2t}{1+t^{2}}.
Conclusão desta etapa: toda interseção dá
\left(u,v\right)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}}\right)
para algum número racional t. Como queremos pontos racionais, basta tomar t racional.

Passo 3

Passando de números racionais para inteiros — eu escolho t=\dfrac{n}{m} com m,n inteiros, m>0.
  1. Substituo t=\dfrac{n}{m} nas fórmulas de u e v:
u=\frac{1-(n/m)^{2}}{1+(n/m)^{2}}=\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}, \qquad v=\frac{2(n/m)}{1+(n/m)^{2}}=\frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}.
  1. Lembre que u=\dfrac{x}{z} e v=\dfrac{y}{z}. Assim
\frac{x}{z}=\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}, \qquad \frac{y}{z}=\frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}.
Multiplicando as duas igualdades por z e observando que m^{2}+n^{2} divide algum múltiplo comum, podemos escrever as soluções inteiras na forma
x=k\,(m^{2}-n^{2}),\qquad y=k\,(2mn),\qquad z=k\,(m^{2}+n^{2}),
onde k é um inteiro positivo que resolve a questão do denominador (ou, dito de outro modo, é o fator de escala para obter inteiros a partir das frações). Assim obtemos uma família de soluções parametricamente em termos de inteiros k,m,n.

Passo 4

Caracterização das ternas primitivas — condições sobre m e n que garantem primitividade.
  1. Definição: uma tripla (x,y,z) é primitiva se \gcd(x,y,z)=1. Queremos saber quando a fórmula
x=m^{2}-n^{2},\qquad y=2mn,\qquad z=m^{2}+n^{2}
gera uma tripla primitiva (ou quando um k>1 aparece).
  1. Condição de coprimalidade: se \gcd(m,n)=d>1 então d divide m^{2}-n^{2}, divide 2mn e divide m^{2}+n^{2}, logo a tripla teria um fator comum d; portanto para obter primitivas é necessário \gcd(m,n)=1.
  2. Condição de paridade: se m e n são ambos ímpares então
  • m^{2}\equiv1\pmod{4} e n^{2}\equiv1\pmod{4},
  • então m^{2}-n^{2}\equiv0\pmod{4} e m^{2}+n^{2}\equiv2\pmod{4}.
    Nesse caso x=m^{2}-n^{2} e y=2mn são pares e z=m^{2}+n^{2} também é par, logo a tripla não é primitiva. Portanto, para primitividadade, m e n não podem ser ambos ímpares; uma forma simples de garantir isso é exigir que um seja par e o outro ímpar (paridade oposta).
  1. Soma das observações: se m>n>0 inteiros, \gcd(m,n)=1 e m e n têm paridade diferente (um par, outro ímpar), então a fórmula com k=1
x=m^{2}-n^{2},\quad y=2mn,\quad z=m^{2}+n^{2}
gera uma tripla pitagórica primitiva. Além disso, toda tripla primitiva pode ser obtida assim — a prova da completude vem no passo seguinte.

Passo 5

Prova da completude (todo tripla primitiva vem dessa fórmula).
Dado (x,y,z) primitivo satisfazendo \,x^{2}+y^{2}=z^{2}\,, escolho organizar para que y seja par (sempre é possível trocar x e y se preciso). Então x e z são ímpares (pois se z fosse par, então x e y seriam pares, contradizendo primitivid.). Considere
z+x\quad\text{e}\quad z-x.
Esses dois números são positivos, pares, e multiplicam-se para dar
(z+x)(z-x)=z^{2}-x^{2}=y^{2}.
Defina
u=\frac{z+x}{2},\qquad v=\frac{z-x}{2}.
Então u e v são inteiros positivos, uv=(y/2)^{2} e \gcd(u,v)=1 (a gcd é 1 porque \gcd(z+x,z-x)=\gcd(z+x,2z)=1 ou 2, e primitividade força que seja 1 após dividir por 2; o argumento completo mostra que u e v são coprimos). Quando dois inteiros coprimos têm produto que é quadrado, então cada um é quadrado. Assim existem inteiros m>n>0 tais que
u=m^{2},\qquad v=n^{2}.
Reescrevendo:
z=\;u+v=m^{2}+n^{2},\qquad x=u-v=m^{2}-n^{2},\qquad y=2\sqrt{uv}=2mn.
Isto mostra que toda tripla primitiva surge de alguns m,n coprimos e de paridade oposta, conforme a fórmula de Euclides.

Passo 6

Observações adicionais práticas e exemplos.
  1. Ordem: a fórmula dá (x,y,z)=(m^{2}-n^{2},\,2mn,\,m^{2}+n^{2}), mas x e y podem ser trocados (ou seja, (2mn,\,m^{2}-n^{2},\,m^{2}+n^{2}) também é solução). Então normalmente se toma m>n para garantir x>0.
  2. Exemplos:
  • Tomando m=2,n=1,k=1 obtém-se (3,4,5).
  • Tomando m=3,n=2,k=1 obtém-se (5,12,13).
  • Para ter uma terna não-primtiva, escolho k>1. Por exemplo k=2 e m=2,n=1 (6,8,10), múltiplo de (3,4,5).
  1. Sinais: permitir x ou y negativos é trivial; as identidades ainda valem com sinal trocado. Normalmente busca-se soluções em inteiros não negativos.

Passo 7

Resumo final do resultado (forma compacta e completa):
  • Todas as ternas inteiras (x,y,z) com \,x^{2}+y^{2}=z^{2}\, são obtidas por
x=k\,(m^{2}-n^{2}),\qquad y=k\,(2mn),\qquad z=k\,(m^{2}+n^{2}),
onde k,m,n são inteiros com k>0, m>n>0. Para gerar todas as ternas primitivas toma-se k=1 e escolhe-se m,n com \gcd(m,n)=1 e paridade oposta (um par, outro ímpar). Trocar x e y também gera soluções.

Passo 8

Pequena dica de prova curta para a aula/prova: ao ver \,x^{2}+y^{2}=z^{2}\,, pense em dividir por z^{2} e parametrizar pontos racionais da circunferência com uma reta de inclinação racional — isso costuma ser uma via rápida e elegante para obter a fórmula de Euclides.

Resposta

x=k\,(m^{2}-n^{2}),\\ y=k\,(2mn),\\ z=k\,(m^{2}+n^{2}) com k,m,n\in\mathbb{Z},\\ k>0,\\ m>n>0.
Para ternas primitivas: k=1,\\ \gcd(m,n)=1 e m,n de paridade oposta (um par, outro ímpar).

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